Dibujemos una circunferencia de centro G, radio 2a y un punto cualquiera F distinto de G que, para fijar ideas, podemos suponer inicialmente en su interior. Ahora vamos doblando el papel de modo que el punto F caiga sobre la circunferencia. Después de unas cuantas pruebas podremos observar que las rectas marcadas en cada doblez envuelven una curva cerrada llamada elipse.

En el siguiente applet puede desplazarse el punto P sobre la circunferencia azul incrementando el ángulo fi de 5 en 5 grados mediante su correspondiente botón. Al dar una vuelta completa se observan 72 líneas de doblado que envuelven a la elipse.
 
 

También se observa que cada línea de doblado (en color gris) es la mediatriz del segmento PF.

La distancia GF la llamaremos 2c. Tienes un botón para variar el radio de la circunferencia (2a) y la distancia GF (2c). Recuerda que después de variar a o c debes dar al botón "limpiar" para regenerar la imagen

¿Qué pasa si F está fuera de la circunferencia?. Vamos a probarlo, para ello haz c = 3,5, limpia y vuelve a hacer que P dé una vuelta completa a la circunferencia.

Observarás que ahora las líneas de dobleces envuelven una curva abierta de dos ramas, su nombre es hipérbola.

Ambas curvas están determinadas por dos puntos (G y F) y un número positivo (el radio de la circunferencia azul). Variando los valores de a y c limpiando y volviendo a hacer que P recorra toda la circunferencia puedes ir observando cómo cambia la forma de ambas curvas.

También se observa que para cualquier posición de P la línea de doblado es tangente a la curva a la que envuelve.

En el siguiente applet hemos suprimido el rastro de la línea de doblado y se ha dibujado la curva precisando un poco más cada punto.

Para determinar geométricamente puntos de elipses e hipérbolas suponiendo conocidos F, G y 2a se procede del siguiente modo:

1.- Dibujamos una circunferencia de centro de centro F y radio 2a. (en color azul).

2.- Tomamos un punto cualquiera P de la circunferencia anterior.

3.- Trazamos la mediatriz de FP (en negro)

4.- Trazamos la recta definida por los puntos G y P.

5.- El punto Q intersección de las rectas anteriores pertenece a la curva buscada.

Si desplazas P sobre la circunferencia mediante el botón "fi" verás que Q describe la curva que es una elipse cuando F es interior a la circunferencia una hipérbola cuando F es exterior y se reduce a un punto (G) cuando F está en la circunferencia.
A la circunferencia del paso 1 la denominaremos en lo sucesivo circunferencia focal.
Los valores de a y c se modifican mediante sus correspondientes botones.

Propiedad fundamental de los puntos de la elipse

Si colocas F interior a la circunferencia es evidente que:

Es decir "Los puntos de la elipse están caracterizados porque la suma de distancias a dos puntos es constante".

Si colocas F exterior a la circunferencia es evidente que:

Es decir "Los puntos de la hipérbola están caracterizados porque la diferencia de distancias a dos puntos es constante".

Los puntos G y F se llaman focos. Su mayor o menor separación determina la forma de la curva.

En el caso de la elipse se tiene c < a. En el de la hipérbola se cumple c > a.

Si mantienes a fijo y varías c entre 0 y a, verás que la elipse se va achatando cada vez más. Para medir el "achatamiento" de la elipse se utiliza la cantidad e = c/a llamada excentricidad cuyo valor va de 0 a 1 para la elipse y de 1 a infinito para la hipérbola.

También puedes comprobar que una circunferencia es una caso particular de elipse, precisamente la que tiene los dos focos coincidentes, dicho de otro modo: c = e = 0.