Como hemos visto en la generación de la hipérbola, el foco F ha de estar fuera de la circunferencia focal. Por otra parte, la hipérbola tiene dos ramas y cuando P recorre toda la circunferencia, el punto Q describe toda la hipérbola. ¿Dónde debe estar P para que Q esté sobre la rama izquierda?. ¿Dónde cambia Q de rama?.

Podemos observar en el siguiente applet que la circunferencia focal se ha dividido en dos arcos cuyos extremos son A y B los puntos de tangencia de las tangentes desde F. El arco mayor de color azul determina las posiciones de P para las que Q está en la rama izquierda dibujada del mismo color y el arco pequeño se corresponde con la rama derecha ambos en verde.

Asíntotas de la hipérbola.

Observa el comportamiento de las tangentes cuando P pasa por A o B. en las proximidades de ambos puntos el punto de tangencia se aleja hacia el infinito de la correspondiente rama para aparecer por el infinito de la otra rama.

Cuando P está exactamente en A o en B, la tangente es paralela a las líneas FQ y GQ decimos que el punto de tangencia está en el infinito y a la tangente se le llama asíntota.

En el siguiente applet se han dibujado las asíntotas en color rojo. Las asíntotas son entonces las mediatrices de los segmentos FA y FB. Ambas asíntotas se cortan en el centro de simetría de la curva.

Tangente y normal en un punto de la hipérbola.

La determinación geométrica de la tangente conocido Q es la siguiente:
1.- Se traza la recta GP.
2.- Si Q está en la rama derecha de la hipérbola se determina P como la intersección de la recta GP con la circunferencia focal de modo que P quede entre G y Q.
Si Q está en la rama izquierda de la hipérbola se determina P como la intersección de la recta GP con la circunferencia focal de modo que G quede entre P y Q.
3.- La mediatriz de FP es la tangente buscada.
Finalmente se ha dibujado la normal en color verde para observar la misma propiedad que en la elipse intercambiando los papeles con la tangente. Ahora es la tangente la bisectriz del ángulo PQF y la normal es la bisectriz exterior del vértice Q en el triángulo PQF.

Tangentes a la hipérbola por un punto cualquiera

Tomemos ahora un punto cualquiera M del plano (en principio en la zona entre ambas ramas). Vamos a determinar las dos tangentes a la hipérbola pasando por M.
Basta que tracemos la circunferencia de centro M y radio MF (en gris). Las intersecciones (dos máximo) con la circunferencia focal (en azul) son los puntos P y Q que permiten trazar las tangentes como mediatrices de PF y QF.
M puede moverse por arrastre o bien mediante sus controles M.x, M.y. Observa que si M está en la zona entre ambas ramas hay dos intersecciones y dos tangentes, si M está sobre la hipérbola solo hay una intersección y una tangente y si M está en las zonas restantes (dejando las dos ramas a un mismo lado) no existen intersecciones ni tangentes.
En este applet se ha limitado la variación de c para que siempre tengamos una hipérbola.
No se han dibujado los puntos de tangencia para evitar ralentizar demasiado la actualización de la figura.

Ejercicio ¿Dónde ha de estar M para que las dos tangentes lo sean en puntos de la misma rama?.
(Idea: tiene que ver con las asíntotas).