Cuerdas focales en la elipse e hipérbola.

Se llaman cuerdas focales a aquellas que unen dos puntos de la curva y pasa por un foco.

En la generación de elipse e hipérbola partiendo de un punto de la circunferencia focal se determinaba un punto de la curva.

Como el punto de la curva está en la recta que une el punto inicial P con el centro G de la circunferencia focal, los extremos de una cuerda focal procederán de puntos de la circunferencia focal alineados con el centro, es decir, diametralmente opuestos tales como el P y S de la escena siguiente:

Podemos comenzar con el valor inicial de c = 2 que genera una elipse (a vale 2,5 y se mantiene fijo). Al ir incrementando el valor de fi mediante su correspondiente botón de control, se observa que los puntos de la cónica Q y R asociados respectivamente a P y S son siempre los extremos de una cuerda focal relativa al foco G.

Hay un par de propiedades interesantes y fáciles de demostrar.

Si llamamos D al punto de intersección de las tangentes en Q y R se cumple:

1.- La recta DG es siempre perpendicular a la cuerda.

2.- El punto D está siempre sobre una recta (en color azul) que es la directriz de la cónica correspondiente al foco G. la directriz tiene la propiedad de que la razón de distancias de cualquier punto de la curva al foco y a la directriz es constante e igual a la excentricidad.

Si damos a c un valor mayor que 2,5 y limpiamos, nos aparece una hipérbola en la que podemos observar las mismas propiedades anteriores.

También se observa que cuando los puntos de tangencia Q y R están en la misma rama, el foco queda entre ellos y siempre sucede con la rama correspondiente al foco considerado (G en este caso) y cuando están uno en cada rama, el foco G queda fuera del segmento QR.

La justificación de estas propiedades es sencilla recordando cómo se determinaba la posición de un punto sobre cada rama en función de la posición de P o S sobre la circunferencia focal.

En la hipérbola la directriz queda "por dentro" y la razón de distancias a foco y directriz es ahora mayor que 1.

Cuerdas en la parábola.

Si tomamos dos puntos cualesquiera en la directriz como P y Q, sus puntos asociados es la parábola (M y N respectivamente), determinan una cuerda.
 

Las mediatrices de FP y FQ son las correspondientes tangentes en M y N. Si movemos libremente P o Q, podemos observar que el punto T de intersección de ambas tangentes determina con MN un triángulo TMN. La paralela por T al eje de la parábola corta al lado opuesto en que es siempre punto medio de MN.

En otras palabras para cualquier posición de M y N sobre la parábola TS es la mediana del triángulo TMN.

Cuando se trabaja con coordenadas esta propiedad se enuncia diciendo que la abscisa de T es la media aritméticas de las de M y N.

La demostración de esta propiedad es clarísima teniendo en cuenta que T es el circuncentro del triángulo PQF.

Si finalmente movemos P o Q de modo que la cuerda pase por el foco F, podemos ver que entonces T está sobre la directriz y además las tangentes son perpendiculares. Por supuesto que no es casualidad como veremos en la siguiente escena.

Cuerdas focales en la parábola.

Ahora nos preguntamos dónde debe estar un punto O para que las tangentes a la parábola desde O sean perpendiculares.

Si las tangentes han de ser perpendiculares, los segmentos FM y FN también lo serán y al ser O el circuncentro del triángulo FMN rectángulo en F, O ha de estar en el punto medio de MN y por tanto en la directriz.

Además si las tangentes son perpendiculares, los ángulos RFN y QFM son complementarios y en consecuencia el ángulo RFQ es llano, en otras palabras, F está alineado con Q y R y la cuerda QR es focal.
 

En este applet se traza una cuerda focal variable determinada por su dirección dada por la posición de P sobre la circunferencia auxiliar y controlada por su ángulo fi.

Variando fi podrás observar y comprobar todas las propiedades del párrafo anterior.

Finalmente vamos a ver una propiedad relativa al punto de intersección de la tangente con la directriz.

Si llamamos R al punto de intersección de una tangente en el punto T variable con la directriz, y Q es la proyección de T sobre la directriz; la circunferencia circunscrita al triángulo TQR pasa siempre por el Foco F.

En la escena siguiente se visualiza esta propiedad mediante una tangente de dirección variable determinada por P y controlada por su ángulo fi con la horizontal.

La demostración es inmediata: al ser el triángulo TQR rectángulo en Q, TR es el diámetro de la circunferencia circunscrita. Como F es simétrico de Q respecto de la tangente, el triángulo TFR es igual al anterior y tiene la misma circunferencia circunscrita.

Un enunciado equivalente es el siguiente: "el segmento de tangente determinado por un punto de la parábola y la intersección de la tangente con la directriz se ve siempre desde el foco bajo ángulo recto".
 
 

1.- En una elipse el producto de las distancias desde cada foco a una tangente cualquiera es constante.

2.- Lo mismo que el anterior para una hipérbola.

3.- Hallar el lugar geométrico de las proyecciones perpendiculares de un foco sobre una tangente variable a una elipse

4.- Lo mismo que el anterior para una hipérbola.

5.- ¿Dónde ha de estar un punto M para que las dos tangentes a una hipérbola desde M tengan los puntos de tangencia en la misma rama?.

6.- Hallar el lugar geométrico del punto de intersección de una tangente variable a una parábola con el segmento definido por el foco y la proyección del punto sobre la directriz.

Ayudas:

Para 1 y 2 observa las escenas de "tangentes paralelas a una dirección dada" (tgparalela.htm) y usa la potencia de un punto (un foco) respecto de la circunferencia focal.

Para 3 y 4 puedes modificar los applets de "tangentes paralelas a una dirección dada" (tgparalela.htm) pulsando "config", "<applet", "puntos", añadiendo a la definición de M o N ":rastro = true" y después "probar". De ese modo ya sabes lo que buscas.

Para el 5 ten en cuenta las zonas en que las asíntotas dividen al plano.

Para el 6 modifica el último applet de esta página del mismo que se ha indicado para los ejercicios 3 y 4.