LA ELIPSE


1.-Construcción    2.-Definición    3.-Elementos    


1.- CONSTRUCCIÓN 


Cómo se puede construir una elipse?

Para construir una elipse hay varios métodos pero uno de los más conocidos y más sencillos es el método del jardinero.

  • Se fijan dos puntos (que pueden ser dos chinchetas en un cartón) F y F. (La distancia entre F y F la llamaremos 2c)
  • Se coge un hilo de longitud fija 2a y se unen los extremos con las chinchetas
  • Manteniendo el hilo tenso con un lápiz se puede dibujar una curva deslizando el hilo sobre el cartón. Esta curva cerrada es una elipse.
Fijate en la figura de la izquierda y mira como se construye la elipse. Los puntos F y F son las estacas y el punto P es el lápiz, el segmento azul es la cuerda, al moverse el punto P se dibuja la elipse.

En la siguiente escena vamos a dibujar una elipse , para ello vas a fijar la longitud de la cuerda  2a y la distancia focal 2c.  Con el control a fijas la longitud de la cuerda (longitud = 2a). La distancia focal la puedes variar , pinchando sobre F ó F y moviendo el ratón.. 

Piensa que la longitud de la cuerda debe ser mayor que la distancia focal (distancia entre los focos), luego para poder dibujar una  elipse debe se a>c ó a=c.

Una vez que hayas fijado a y la posición de los focos F y F, pulsa el control dibujar_elipse para que se dibuje la elipse.

 

  1. Pulsa el control Dibujar_elipse y comprueba que la longitud de la cuerda es constante.
  1. Coloca los focos sobre el eje OY y dibuja la elipse. Qué observas?
  1. Coloca en los focos en cualquier posición y vuelve a dibujar la elipse.
  1. Haz que a=c, y dibuja la elipse. Cómo es el dibujo?
  2. Coloca los dos focos en el mismo   punto y dibuja la elipse Qué observas?. Anótalo en tu cuaderno.
  3. Dibuja en tu cuaderno una elipse para cada uno de los siguientes casos (Ayudate de la escena):
    • Con los focos en el eje OX, a=8, c=3
    • Con los focos en el eje OY, a=8, c=3
  4. Apunta en tu cuaderno que ocurre si a=c , a<c
A partir de ahora vamos a considerar los focos de la elipse en el eje OX, de coordenadas F(c,0) y F(-c,0). 


2.- DEFINICIÓN

La longitud del hilo no se puede variar, por consiguiente la suma de las distancias de la punta del lápiz a las chinchetas  permanecerá constante (PF +PF = 2a)  .

  1. Mueve el punto P (pincha sobre el punto  y mueve el ratón) comprueba que la suma de la medida de los  segmentos  PF y PF , es siempre la longitud de la cuerda.
  1. Cambia la posición del foco F (pincha sobre el punto y desplazalo con el ratón) y observa que sucede lo mismo.
 
  1. Haz que la  longitud de la cuerda  sea  8 (pincha con el ratón en el control a=4) y vuelve a comprobar la propiedad.
  2. Comprueba para distintos valores de la longitud de la cuerda y distintas posiciones del foco que siempre ocurre lo mismo.

Atendiendo a esta propiedad podemos definir la elipse de la siguiente manera:

Definición de la Elipse:

La Elipse es el conjunto de los puntos P del plano  cuya suma de distancias a dos puntos fijos (F y F) llamados focos es una cantidad constante (2a).


3.- ELEMENTOS


En la elipse se distinguen los siguientes elementos:

  1. Los Radios Vectores de un punto son los segmentos PF y PF.
  2. Eje Focal: Es la recta que pasa por los focos F y F.
  3. Eje Secundario: Es la mediatriz del segmento FF.
  4. Centro de la elipse: Es el punto O en el que se cortan los ejes.
  5. Distancia Focal: Es el segmento FF y su longitud es 2c.
  6. Vértices: Son los puntos A , A, B , B en los que los ejes cortan a los ejes.
  7. Eje Mayor:  Es el segmento AA y su longitud es 2a.
  8. Eje Menor: Es el segmento BB y su longitud es 2b.

En la siguiente escena vas a conocer los distintos elementos de la elipse.

Selecciona en el control elemento el numero correspondiente al elemento que quieras ver.
  1. Radio Vectores
  2. Eje Focal
  3. Eje Secundario
  4. Centro de la elipse
  5. Distancia Focal
  6. Vértices
  7. Eje Mayor
  8. Eje Menor

 

  1. Haz que la longitud de la cuerda igual a la distancia focal y mira los elementos de la elipse.

  2. Calcula en tu cuaderno  las longitudes de los elementos de una elipse si a=13 ,c=5 el valor lo puedes ver en la escena


INDICEMAS


  Miguel Ángel Cabezón Ochoa
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2003
   

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