Vamos a ver qué representación le corresponde a la función y=(x + h)² + k y cómo cualquier función de ecuación y = x² + bx + c, podrá transformarse en otra ecuación de la forma y = (x + h)² + k.

Combina valores diferentes para h y k, escribe en tu cuaderno las funciones que vas representando con sus vértices respectivos.

Modifica el valor inicial de la escena dado a h hasta que sea 0, y a continuación haz lo mismo con k. Fíjate en la escena, cómo la gráfica se va trasladando, primero en dirección el eje x, y luego, en dirección del eje y. Todo ello para terminar coincidiendo con la gráfica de y=x².

Puedes modificar los valores de k y de h mediante las flechitas o bien escribiendo sus valores. Varía la escala si no logras ver la función.

Desarrolla la siguiente expresión, y=(x + h)² + k; primero el binomio de Newton, luego el resto. Iguala dicha expresión con y = x² + bx + c y debes llegar a la siguiente conclusión:

b = 2h, entonces h = b/2

c = h² + k, entonces k = (4c - b² )/4

Con estos datos, transforma la parábola y=x²+4x+5 en una de la forma y=(x+h)²+k, así su representación en el cuaderno te será muy fácil a partir de traslaciones en dirección eje x e eje y de la gráfica de y=x².

Tienes representadas en la escena siguiente las gráficas de y = 3x², y = -5x², debes compararlas con y = x². ¿Cómo son sus ramas respecto a esta última, más abiertas o más cerradas? ¿Van sus ramas hacia arriba o hacia abajo?

Intenta sacar una conclusión general (dando a k y a h el valor 0 y a a diversos valores): En las funciones y=ax² con a>1, las ramas van hacia ...... y más cerradas que las de y = x².

Escribe una frase parecida para el caso 0<a<1 y a<0.

Representa ahora las siguientes funciones:

y=3x²+5 (para ello, debes hacer que a=3, h=0, k=5 por medio de las flechas que se encuentran al lado de cada parámetro). Escribe su vértice.

y=-5x²+2. Escribe su vértice.

Compáralas con las funciones anteriores y=3x², y=-5x² (modifica h y k hasta que sean 0).

Representa también (escribiendo sus vértices en el cuaderno):

y=3(x-1)²+5 (a=3, h=-1,k=5)

y=-5(x+2)²+2

Escribe tu conclusión en el cuaderno de trabajo (sobre los vértices de dichas parábolas, sobre su forma,...).

Desarrolla ahora la siguiente expresión, y=a(x+h)²+k. Iguala dicha expresión con y=ax²+bx+c y llegarás a la conclusión:

b= 2ah, entonces h=b/2a

c=ah²+k, entonces k=(4ac-b²)/4a

Con estos datos, transforma la parábola y=3x²+12x+17 en una función de ecuación y=a(x+h)²+k, así su representación te será muy fácil a partir de traslaciones en dirección eje x e eje y de la gráfica de y=3x².