INTERPOLACIÓN_1
Análisis
 

1. INTRODUCCIÓN
Durante los meses de Mayo y Junio, el contribuyente español tiene que presentar su correspondiente declaración de la renta. La utilización del programa de ayuda de la Agencia Tributaria ha simplificado mucho la realización de la misma. Quien tenga que realizarla a mano, con bolígrafo y calculadora, se encontrará de repente ante una tabla como la siguiente: 

Base liquidable hasta pesetas Cuota íntegra Pesetas Resto base liquidable hasta pesetas Tipo aplicable Porcentaje
442.000
0
694.000
17,00
1.136.000
117.980
1.169.000
19,55
2.305.000
346.520
1.169.000
23,80
3.474.000
624.742
1.169.000
27,20
4.643.000
942.710
1.169.000
30,60
5.812.000
1.300.424
1.169.000
34,00
6.981.000
1.697.884
1.169.000
38,25
8.150.000
2.145.026
1.169.000
41,65
9.319.000
2.631.915
1.169.000
45,05
10.488.000
3.158.549
en adelante
47,60
Esta tabla corresponde a la parte estatal de la cuota íntegra  de las declaraciones individuales del ejercicio de 1997
 
Y un poco más abajo el siguiente ejemplo ilustrativo de cómo se debe calcular la cuota íntegra del impuesto:
1.- Teniendo en cuenta el ejemplo, calcula la cuota íntegra para las siguientes bases imponibles: 1.234.567, 2.345.678, 4.567.890, 5.678.910 ptas.

Cómo se quedarían los contribuyentes si, en vez del ejemplo, la Agencia Tributaria les diera una tabla con sólo las dos primeras columnas y les dijera sencillamente que calcularan la cuota íntegra utilizando interpolación lineal?

EL PROBLEMA DE LA INTERPOLACIÓN
Muchas veces, de una función sólo conocemos un conjunto de valores. Esto puede suceder, por ejemplo, porque son los resultados de un experimento gobernado por una ley que desconocemos. Si queremos calcular el valor de la función para una abscisa diferente de las conocidas, debemos utilizar otra función que la aproxime y, naturalmente, el valor que obtengamos será una aproximación del valor real. También puede suceder que sepamos la expresión analítica de la función, pero sea lo suficientemente complicada como para calcular aproximaciones a los valores de la función a partir de otros ya conocidos.

Existen varias formas de hacer esto, pero la más sencilla y una de las más utilizadas es la interpolación, que consiste en construir una función que pase por los valores conocidos (llamados polos) y utilizar ésta como aproximación de la función primitiva. Si se utilizan polinomios como funciones de aproximación, hablamos de interpolación polinómica.

Si la abscisa para la que queremos encontrar un valor aproximado de la función se encuentra fuera del mayor intervalo definido por las abscisas de los polos, se dice que estamos haciendo extrapolación.

Siempre que se utiliza un valor aproximado se está cometiendo un error. El estudio del error queda fuera de los límites del curso al que está dirigido esta unidad didáctica.


2. INTERPOLACIÓN LINEAL
La interpolación lineal es la forma más simple de interpolar. Consiste en aproximar la función desconocida mediante una función lineal a trozos, es decir, si los puntos conocidos de la función son:

(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn), donde x0<x1< ...<xn,

la gráfica de la función lineal a trozos estará formada por los segmentos que unen cada punto con el siguiente. Esto se ve mejor en la siguiente escena en la que se representa la tabla anterior. Por cuestiones prácticas, las unidades de los ejes coordenados representan millones de pesetas.

La escena contiene un control y dos parámetros que se corresponden con las coordenadas del control.


2.- Realizar el "Ejercicio 1: Teniendo en cuenta el ejemplo, calcula la cuota íntegra para las siguientes bases imponibles: 1.234.567, 2.345.678, 4.567.890, 5.678.910 ptas." utilizando el control y/o los parámetros de la escena. Qué diferencia hay entre el valor obtenido en la escena y el que antes se calculó? En términos relativos, es grande o pequeña?

3.- Mediante la escena, calcula la base imponible de un contribuyente cuya cuota íntegra es de 2.345.678 ptas., posteriormente, mediante la tabla, hállese el valor exacto.

Se habrá observado en la escena que cada punto se une con el siguiente mediante un segmento de recta. La Agencia Tributaria no permite aproximaciones, así pues, si queremos calcular exactamente la cuota íntegra para una base imponible de 5.678.910 ptas. y no queremos seguir las indicaciones del ejemplo, debemos construir la ecuación de la recta que pasa por dos puntos (xk , yk) y (xk+1, yk+1) tales que xk < 5.678.910 < xk+1 (en nuestro caso: (xk , yk)=(4.643.000, 942.710) y (xk+1,yk+1)=(5.812.000, 1.300.424)) y utilizar dicha ecuación, sustituyendo en la variable independiente 5.678.910, para calcular el valor de la cuota íntegra.

La ecuación general de una recta es: y=mx+n. Si determinamos los valores de m y n, habremos calculado la ecuación. Como la recta pasa por el punto (4.643.000, 942.710) y por (5.812.000, 1.300.424), se tiene el siguiente sistema de ecuaciones: 942710=464300m+n  y 1300424=5812000m+n

Resolviéndolo se obtienen los valores de m y n; y m5678910+n será la cuota íntegra buscada. De esta manera hemos calculado la cuota íntegra correspondiente a una base imponible de 5.678.910 ptas mediante interpolación lineal.

Para resolver la ecuación anterior y los ejercicios que siguen es conveniente ayudarse de una calculadora.

4.- Calcular la cuota íntegra de los valores del ejercicio 1 utilizando interpolación lineal. Se han obtenido los mismos valores que cuando se realizó siguiendo el ejemplo? La respuesta debe ser sí, si no, algo ha fallado. A qué corresponde, en terminología de la recta, la columna de porcentajes de la tabla?

5.- Resolver el ejercicio 3 utilizando interpolación lineal.


3.INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA

Si en vez de utilizar rectas (polinomios de primer grado) utilizamos polinomios de segundo grado para interpolar, estaremos realizando interpolación cuadrática. Para la interpolación lineal utilizábamos dos puntos, pues dos puntos determinan una recta; ahora necesitaremos tres puntos para determinar la correspondiente parábola. Empezaremos con un ejemplo con números más pequeños para ilustrar como realizar la interpolación cuadrática, y observar los problemas que se nos plantean.

Supongamos que de una determinada función conocemos los puntos dados por la siguiente tabla:

xi -1 2 3
yi 6 3 10
 
Y queremos calcular un valor aproximado para x=1,5 utilizando
interpolación cuadrática.

Razonando como en el caso de interpolación lineal, la ecuación general de una parábola es: y=ax2+bx+c. Si determinamos los valores de a, b y c, habremos calculado la ecuación. Como la parábola pasa por los puntos (-1, 6), (2, 3) y (3, 10), se tiene, sustituyendo cada punto en la ecuación general de la parábola, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:   a-b+c=6   4a+2b+c=3   9a+3b+c=10

Resolviéndolo se obtienen los valores de a=2, b=-3 y c=1 e y(1,5)=21,52-31,5+1=1 será el valor aproximado para x=1,5 calculado mediante interpolación cuadrática.

Observación: Si los tres puntos están alineados, a valdrá 0 y tendremos un polinomio de primer grado. Incluso podría pasar que también b fuera 0, y en tal caso el polinomio sería de grado 0. En general, dados n+1 puntos con abscisas distintas, se puede probar que siempre hay un polinomio de grado menor o igual que n que pasa por ellos.

Como los números del ejemplo son enteros, y está preparado para que salgan soluciones enteras, no habrá habido muchas dificultades para resolverlo bien. Sin embargo, si la tabla de datos hubiera sido la siguiente:

xi 2,305000 3,474000 4,643000
yi 0,346520 0,624742 0,942710
 
los cálculos necesarios para encontrar el polinomio de segundo grado que nos sirva como polinomio interpolador serán muy laboriosos. Los datos de esta tabla corresponden a tres puntos de la tabla de la renta, pero expresadas las cantidades en millones de pesetas.

Es fácil comprender que si intentamos hacer interpolación mediante un polinomio de 3, 4 ... el sistema de ecuaciones correspondiente se hará cada vez más tedioso de resolver.

Para soslayar este problema se han ideado varios métodos que permiten calcular el polinomio interpolador de forma más sencilla que resolviendo un sistema de ecuaciones análogo al anterior. Veremos a continuación un método ideado por Newton.


4. MÉTODO DE NEWTON
La idea de Newton consiste en expresar el polinomio interpolador de la forma

y=c0+c1(x-x0)+c2(x-x0)(x-x1)

y, sustituyendo sucesivamente (x0, y0), (x1, y1) y (x2, y2), calcular c0, c1 y c2. Se comprenderá mejor realizando el ejemplo anterior mediante el método de Newton.

Observación: Puesto que la búsqueda del polinomio tiene como fin el cálculo de valores aproximados y éstos se pueden calcular a partir de la expresión y=c0+c1(x-x0)+c2(x-x0)(x-x1), no es necesario, ni conveniente en la mayoría de los casos, desarrollar la expresión anterior hasta obtener el polinomio expresado en forma reducida.

En el ejemplo: (x0, y0)=(-1, 6), (x1, y1)=(2, 3) y (x2, y2)=(3, 10). Por lo tanto nuestro polinomio será de la forma:

y=c0+c1(x+1)+c2(x+1)(x-2)

Sustituimos primero (-1, 6) en la expresión anterior: 6=c0+c1(-1+1)+c2(-1+1)(-1-2) y obtenemos c0=6.

Ponemos en vez de c0 su valor y sustituimos (2, 3) quedando: 3=6+c1(2+1)+c2(2+1)(2-2). Resolviendo esta sencilla ecuación de primer grado obtenemos c1=-1.

Sustituimos, por último, c0 y c1 por sus valores y (3, 10), resultando: 10=6-1(3+1)+c2(3+1)(3-2). Esta ecuación nos da como solución c2=2.

Luego nuestro polinomio interpolador será:

y=6+(-1)(x+1)+2(x+1)(x-2)=6-1(x+1)+2(x+1)(x-2)

y para hallar el valor correspondiente a x=1,5 haríamos y(1,5)=6+(-1)(1,5+1)+2(1,5+1)(1,5-2)=1


6.- Si hacemos operaciones en la expresión anterior y reducimos los términos lo más posible, qué polinomio obtendremos? Escríbase la solución antes de realizar los cálculos.

7.- Ayudándose de una calculadora, obténgase, utilizando el Método de Newton, el polinomio de segundo grado que pasa por los puntos dados en la tabla:

xi 2,305000 3,474000 4,643000
yi 0,346520 0,624742 0,942710
y una vez hallado dicho polinomio, calcúlese la cuota íntegra correspondiente a una base imponible de 4,567890 millones de pesetas. Es mayor o menor que la obtenida en el ejercicio 1?

La siguiente escena realiza todos los cálculos correspondiente a la interpolación cuadrática mediante el Método de Newton. Debemos suministrarle los valores de los polos y el valor de x para el cual queremos obtener un valor aproximado de la función. Utilícese para comprobar los dos ejercicios anteriores y para resolver los que vengan en el futuro.

8.- A partir del polinomio calculado en el ejercicio 7, calcúlese la cuota íntegra para cada una de las bases imponibles de la tabla de la renta y obsérvese que la mayor parte de los puntos de dicha tabla se encuentran situados sobre la parábola hallada en el ejercicio 7.

9.- Cómo será la expresión del polinomio interpolador de Newton para un polinomio de primer grado? Se puede hallar dicho polinomio con la escena anterior?


       
           
  Salvador Calvo-Fernández Pérez
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001
 
 

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