CONCEPTOS PREVIOS I

(derivada de una función en un punto)
Análisis
1. PENDIENTE DE UNA RECTA
Para cualquier recta, que no sea vertical, se puede definir la pendiente, como el cociente de la diferencia de las ordenadas de dos puntos cualquiera de la misma, entre la diferencia de sus respectivas abscisas.
1.- Comprueba que la pendiente es independiente de la elección de los puntos de la recta.
Puedes mover la posición del punto Q, arrastrándolo con el ratón.

2.- Demuestra analíticamente que la anterior afirmación es cierta. (Observa la relación que hay entre los triángulos rectángulos que se van formando). ¿Se puede extender este resultado si se considera otro punto P cualquiera?.

En estas condiciones se puede reformular la definición del concepto de pendiente como la variación de altura que hay que recorrer (positiva hacia arriba, negativa hacia abajo) para alcanzar la recta, cuando desde un punto de la misma se avanza una unidad en dirección horizontal positiva.
3.- Calcula, con ayuda de una calculadora, la tangente del ángulo que forma la recta con el eje de abscisas. ¿Qué relación existe con la pendiente?. Formula una tercera definición del concepto de pendiente de una recta.

4.- Demuestra la relación observada en el ejercicio anterior. Indicación: Observa los triángulos rectángulos que se forman en la escena.

5.- Determina el cálculo del ejercicio anterior en términos porcentuales, esto es, ¿Cuántas unidades asciende o desciende la recta cuando horizontalmente se avanza 100 unidades?. Compara tus cálculos con las señales de circulación referidas al peligro de la proximidad de una pendiente pronunciada.

6.- Deduce por qué las rectas verticales no tienen definida la pendiente.

7.- ¿En qué parte de las actividades de la introducción juegan un papel importante las pendientes?.
2. LOS PERFILES POLIGONALES
Un perfil del tipo poligonal, representa la gráfica de una función definida a trozos, de manera que cada trozo es la ecuación de una recta.

8.- Construye el perfil de color magenta, con las piezas de color verde que dispones a la derecha de la escena.

9.- Compara y analiza las alturas que has elegido en cada pieza. ¿Qué elementos comunes y no comunes se obtienen?.

10.- Deduce la pendiente de las rectas que componen el perfil poligonal de color magenta.

11.- ¿Serías capaz de dar la ecuación de cada una de las rectas involucradas?

Si arrastras el control Q puedes desplazar el perfil magenta verticalmente.

12.- ¿Varía la construcción tras haber desplazado el perfil poligonal?. Analiza las relaciones entre la pendiente de una recta, y su posición.

La pendiente de una recta y de todas sus paralelas es la misma.
2. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
La derivada de una función y=f(x) en punto x=x0 se define como el número real f'(x0) resultado de calcular el límite del cociente incremental, esto es, el cociente del incremento de la función entre el incremento de la variable, cuando este último tiende a cero.

Una definición alternativa la obtenemos con la fórmula lim2.gif (1565 bytes), definiendo h=x-x0
13.- Interpreta qué significa geométricamente el cociente incremental para cada h fijo.

14.- Si h es cada vez más cercano a cero, ¿a quién se acerca los correspondientes cocientes incrementales?.

15.- Analiza lo que ocurre si h=0.

16.- Calcula mediante la definición, la derivada de la función y=f(x) en el punto x0=2. Comprueba los cálculos realizados con la pendiente de la recta tangente a f en el punto (2,f(2)).

La derivada de una función en un valor de x=x0, representa la pendiente de la recta tangente a la curva de la gráfica de la función, en el punto (x0,f(x0)).
17.- Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f, en el punto (2,f(2)).

18.- Observa la relación que existe entre el crecimiento y decrecimiento de la función y el signo de la derivada. ¿Qué ocurre cuando x0= 0?.
4. EL PERFIL DE UNA CURVA
Si la gráfica de una función es una curva, parece más complicado aproximar su perfil por las piezas triangulares que hemos dispuesto desde el comienzo de esta unidad.

19.- Construye el perfil más aproximado a la curva magenta utilizando las piezas de que dispones.

Si con los pulsadores rojo y azul no encuentras la altura adecuada, puedes introducir esa altura con el teclado en la casilla correspondiente y presionar la tecla Enter.

20.- ¿Qué solución se puede adoptar para que el perfil que construyamos se parezca más al perfil de la curva magenta?.

21.- Compara las piezas triangulares y el perfil verde que vas obteniendo con los ejercicios propuestos en la actividad anterior. Lo que observas, ¿coincide con las propuestas del ejercicio anterior?
5. HACIA EL LÍMITE

22.- Construye el perfil más aproximado a la curva magenta, utilizando las piezas de que dispones. En esta ocasión puedes variar la longitud de la base de las piezas triangulares.

La longitud de las piezas triangulares esta representada por el parámetro h.

Para modificar su valor lo puedes hacer o bien utilizando los pulsadores rojo y azul de la primera casilla, o bien introduciendo su valor y pulsando la tecla Enter.

23.- ¿Qué ocurrirá en el límite, cuando h tienda a 0?.

Enrique Martínez Arcos
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001

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