INECUACIONES CON UNA INCÓGNITA
Resolución Gráfica
I Resolución de una inecuación de primer grado
Las inecuaciones de primer grado son de la forma 5x+7<x-2, -6x+5>3x+5, 3x-5≤ 5x+1 ó 3x-5≥ 5x+1. Si pasamos restando las expresiones del 2º miembro al 1º las inecuaciones quedan de la forma:
m x + n < 0 m x + n > 0 m x + n ≤ 0 m x + n ≥ 0 Para resolverlas hay que buscar los valores de x que verifican las inecuaciones, es decir, que al sustituir la x por esos valores hagan el polinomio menor, mayor, menor o igual o mayor o igual que cero.
Para resolver la inecuación - x - 2 ≤ 0, se ha representado la recta y= - x - 2. Mueve el punto P con el ratón y observa el signo del polinomio - x - 2 (buscamos que sea negativo o cero). Anota todos los valores de x.
1.- Comprueba que obtienes infinitas soluciones. Éstas se representan con un intervalo cuya notación es [-2,+∞ ) o [-2,+∞ [ .
Si te fijas solo en el eje X verás una recta así:
------------------------------------------
El trozo azul corresponde a los valores de x que hacen el polinomio positivo. El negro los que lo hacen negativo. El punto de unión lo hace cero.
2.- Cambia con las flechas los valores de m y n y resuelve las siguientes inecuaciones:
-x -2 < 0 3 x + 6 > 0 2 x - 4 ≤ 0 5 x + 2 ≥ 0
(Utiliza el botón Inicio para volver a la escena del principio)
Observa la relación que hay entre el punto de corte de la recta con el eje X, la pendiente (m) y las soluciones obtenidas. Recuerda que si hay igualdad el intervalo es cerrado por ése extremo y si no la hay es abierto.
II Resolución de una inecuación de segundo grado (con raíces reales)
Igual que en el caso anterior, buscamos valores de x que hagan el polinomio ax2+bx+c positivo, positivo o cero, negativo o negativo o cero. Las inecuaciones que resolveremos serán de la forma:
ax2+bx+c>0 ax2+bx+c≥0 ax2+bx+c<0 ax2+bx+c≤0
Para resolver la inecuación x2-x-2≥0, se buscan las raíces reales del polinomio (x = -1 y x = 2) y se dibuja la parábola. Es muy importante el signo del coeficiente principal. Si a>0, la parábola está abierta por arriba. Si a<0, la parábola está abierta por abajo.
Mueve el punto P con el ratón y observa el signo del polinomio (buscamos cuando es positivo o cero). Anota en tu cuaderno las soluciones.
3.- Comprueba que los valores obtenidos, coinciden con los dos trozos azules del eje X. El trozo blanco son los valores de x que hacen el polinomio negativo.
La solución se expresa de la forma (-∞ ,-1]U[2,+∞) donde U significa "unión".
4.- Resuelve las siguientes inecuaciones de 2º grado, usando las flechas para cambiar las raíces del polinomio y el coeficiente principal.
- (x-1) (x-2) > 0 2 (x-2) (x-2) < 0 - x2 + x + 6 ≥ 0 x2 - 2 x + 1 > 0
III Resolución de una inecuación de segundo grado (sin raíces reales)
Supongamos que queremos resolver una inecuación de 2º grado pero, tal que, el polinomio no tiene raíces reales.
La parábola y = ax2+bx+c quedará por encima
o por debajo del eje X.
Mueve el punto P con el ratón y resuelve las inecuaciones x2+x+1>0 y x2+x+1<0.
5.- Observa que todos los números reales son soluciones de la 1ª inecuación y que la segunda inecuación no tiene ninguna solución real.
6.- Dadas las inecuaciones 2x2+3x+2>0 y -x2+3x-3<0:
a) Comprueba que los polinomios no tienen raíces reales.
b) Dibuja en tu cuaderno las parábolas y = 2x2+3x+2 e y = -x2+3x-3, teniendo en cuenta el apartado anterior y el signo del coeficiente principal.
c) Resuelve las inecuaciones y comprueba tus resultados cambiando los datos en la escena.
IV Resolución de una inecuación del tipo fracción algebraica
Para resolver la inecuación (x+1) / (x-3)≥0, se ha representado la función y = (x+1) / (x-3).
Buscamos los valores de x, que hagan la fracción algebraica positiva o cero. Mueve el punto P con el ratón y anota en tu cuaderno las soluciones.
Si te fijas en el eje X, verás una recta
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El trozo azul corresponde a los valores de x que hacen el polinomio positivo. El blanco los que lo hacen negativo. El punto de unión lo hace cero.
7.- ¿Para qué valor de x se hace 0 la fracción algebraica?. Este valor sí valdría, y el intervalo sería cerrado por ese extremo.
8.- ¿Para qué valor se hace cero el denominador? Recuerda que el denominador nunca puede ser cero y por lo tanto ése valor no valdría (está dibujado como un punto rojo en la recta anterior). El intervalo sería abierto por ese extremo.
9.- Cambia los valores de x1 y x2 para resolver las inecuaciones:
(x+1) / (x-2)<0 (x-2) / (x-3)>0 (x-2) / (x+1)≤0 (x+2) / (x+3)≥0
Autor: Paloma Cabero Sandoval.
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