El incentro es el punto de corte de las bisectrices interiores de un triángulo. El estudio del incentro que haremos aquí será desde el punto de vista de la Geometría Euclídea. En otras palabras, resolveremos el problema de hallar las coordenadas del incentro sabiendo las coordenadas de los vértices del triángulo. También estudiaremos elementos asociados al incentro, por ejemplo, la circunferencia inscrita.

Antes de empezar, dejemos claro los convenios de notación que vamos a utilizar. Los vértices los denotaremos con las letras A, B, C y los lados con a, b, c; donde a será el lado opuesto a A, b a B y c a C. Las coordenadas del punto A son las coordenadas del vector OA (siendo O el origen de coordenadas). Cuando tengamos que utilizar en alguna expresión el vector OA, escribiremos simplemente A. Así, por ejemplo, AB=OB-OA, será escrita como AB=B-A. Esta forma de escribir dará lugar a expresiones fáciles de recordar.

Calcular las coordenadas del incentro se puede hacer hallando las ecuaciones de dos bisectrices y resolver el sistema de ecuaciones lineales correspondiente. Cualquiera que haya utilizado este método alguna vez sabe que es tedioso y gravoso; pues hay que trabajar con raíces cuadradas, salvo que los puntos estén muy bien elegidos. Un ejemplo fácil de resolver mediante este método sería el siguiente:

Hallar el incentro del triángulo formado por los puntos A(1, 2), B(4, 2), C(1, 6).

Y quien lo resuelva calculando las bisectrices de los vértices A y B se dará cuenta de por qué es fácil hacerlo.

Sin embargo, la resolución de este otro se hace eterna:

Hallar el incentro del triángulo formado por los puntos A(-1, 2), B(4, -2), C(1, 6).

Así pues, busquemos otra forma de resolverlo. Observemos la escena. El paralelogramo BPIQ es un rombo, pues I pertenece a la bisectriz de B. Si somos capaces de calcular la longitud m del lado del rombo BPIQ, como los vectores son unitarios, será fácil hallar las coordenadas de I, pues:

Calculemos el valor de m utilizando el triángulo rectángulo PTI, cuyo ángulo P es igual al ángulo B:

Unos simples cálculos algebraicos nos llevan a una bonita expresión (recordar que escribiremos I en vez de OI, A en vez de OA,...).

Resumimos en una escueta proposición lo que hemos averiguado.

El desarrollo anterior es una demostración de esta propiedad, pero no es la única. Dos más vienen a continuación. Las llamaremos “Demostración 2” y “Demostración 3”. Antes de empezar con ellas, haremos un pequeño inciso.

Sea , nuestro objetivo es calcular . Primero calculamos el vector AI.

Como el vector AI es proporcional al vector , se tiene que:

Tomando B en vez de A en los cálculos anteriores llegamos a: . Luego: .

Una simple propiedad de las proporciones nos da los valores de .

Sustituyendo estos valores en se termina la demostración.

Lo que haremos es una simple comprobación. Comprobaremos que el punto es el incentro; para ello sólo es necesario probar que el vector AI es proporcional al vector .

En efecto:

Esta última es la más sencilla de las tres; pero parte del hecho de que la fórmula ya es conocida, mientras que las otras dos nos llevan a la fórmula.