TEOREMA DE PITÁGORAS
Historia
 
1. TEOREMA DE PITÁGORAS: LIBRO 1 PROPOSICIÓN 47 

En un triángulo rectángulo el cuadrado construido sobre el lado opuesto al ángulo recto es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los lados que definen el ángulo recto.

Puedes cambiar las medidas del triángulo arrastrando los puntos de color verde y rojo. Si pulsas sobre la escena el botón derecho del ratón se despliega un menú que te permite centrar la escena.
DEMOSTRACIÓN: Sea ABC el triángulo y BAC el ángulo recto. 

Se construyen los cuadrados BDEC sobre BC, GB y HC sobre BA y AC. Dibuja AL paralela a BD o CE, y también AD y FC.  I 46; I 31; Post. 1;

Los ángulos BAC y BAG que son rectos en A I Def 22;

y cada uno a un lado del segmento BA, son adyacentes y suman dos rectos; por tanto CA y AG están en el mismo segmento I 14;

Por la misma razón BA está en el mismo segmento que AH

El ángulo DBC es igual a FBA por ser rectos. Si les sumo a ambos el ABC resultarán tambien iguales. 

Por tanto DBA es igual a FBC I Def 22; Post 4; N.C.2;

Ya que DB es igual a BC y FB igual a BA, los lados AB y BD serán iguales a los lados FB y BC respectivamente; y como el ángulo ABD es igual al ángulo FBC,  los dos triángulos son iguales.I Def 22; I 4;

Además el paralelogramo BL es doble del triángulo ABD por tener la misma base y estar en las mismas paralelas BD y AL. Y el cuadrado GB es el doble del triángulo FBC por tener la misma base y estar en lados paralelos    I 41;

Por tanto el paralelogramo BL también será igual al cuadrado GB.

Del mismo modo el paralelogramo CL es igual al cuadrado HC.

Como el cuadrado BDEC está construido sobre BC y los cuadrados GB sobre BA y HC sobre AC, entonces el cuadrado sobre el lado BC es igual a la suma de los cuadrados sobre GB y HC. N.C.2;

Además el cuadrado BDEC está construido sobre BC y los cuadrados GB y HC sobre BA y AC. Por tanto el cuadrado construido sobre BC es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre BA y AC

2. TEOREMA DE PITÁGORAS: LIBRO 1 PROPOSICIÓN 48 
En esta proposición Euclides se preocupa por demostrar el recíproco del teorema de Pitágoras.
Si en un triángulo se cumple que el cuadrado construido sobre un lado es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los otros dos, entonces el ángulo definido por dichos dos lados del triángulo es recto.

Puedes cambiar las medidas del triángulo arrastrando los puntos de color verde y rojo. Si pulsas sobre la escena el botón derecho del ratón se despliega un menú que te permite centrar la escena.

DEMOSTRACIÓN:

Supongamos que el cuadrado sobre BC es igual a la suma de los cuadrados sobre AC y AB

Desde el punto A dibuja AD en ángulo recto con el lado AC, haz AD igual a BA y une D con C. I 11; I 3 y Post 1;

Como DA es igual a AB el cuadrado sobre DA es igual al cuadrado sobre AB

Añade el cuadrado sobre AC a ambos y se cumple que la suma de los cuadrados sobre AC y AD es igual a la suma de los cuadrados sobre AC y AB. C.N.2;

Pero el cuadrado sobre DC es igual a la suma de los cuadrados sobre AC y AD por ser el ángulo recto, y el cuadrado sobre BC es igual a la suma de los cuadrados sobre AB y AC por hipótesis, entonces el cuadrado sobre CD es igual al cuadrado sobre BC y por tanto el lado BC es igual a CD. I 47;

Como el lado DA es igual a AB, el lado AC es común, y el lado CD igual a CB, el ángulo BAC será igual al ángulo DAC. Como el ángulo DAC es recto entonces el ángulo BAC es también recto.

       
           
  Rosa Jiménez Iraundegui
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001