Pero también puedes ver que la mediatriz corta al segmento AB en su punto medio M, y es perpendicular a él. 

Por esta razón los vectores MX y AB son perpendiculares, o sea su producto escalar es cero.

Todo esto lo puedes comprobar en la escena.

Para hallar la ecuación de la mediatriz basta aplicar que dist(X,A)=dist(X,B)

Y efectuando las operaciones nos queda la ecuación de la recta y = x + 3, que es la mediatriz del segmento AB. 

Puedes también comprobar en la escena que la recta representada es y = x + 3, pues tiene de pendiente 1 y de ordenada en el origen 3.

1.- Halla la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos A(0,5) y B(4,3).

2.- Comprueba tus cálculos en la escena anterior y escribe en tu cuaderno cuál es la pendiente de la recta obtenida y la ordenada en el origen.

3.- Calcula el producto escalar de los vectores MX·AB, que si lo has hecho todo correctamente ha de dar igual a cero, pues son perpendiculares.

4.- Calcula las distancias AX y BX, que puedes comprobar en la escena.

5.- Calcula las coordenadas del punto medio M del segmento AB, y compruébalo en la escena.

El parámetro a que aparece en el botón inferior de esta escena, corresponde a la abscisa del punto X. Si cambias el valor de a, verás los distintos puntos X de la recta roja, que es la bisectriz del ángulo que forman las otras dos rectas azules.

 En nuestro caso nos queda así:  

Pero si |A|=|B| se pueden dar dos casos: A=B  o  A=-B  

Por tanto puede ser: 

11x+2y-20=2x+11y+7 

o bien

11x+2y-20=-2x-11y-7. 

De la segunda igualdad resulta: x+y-1=0, que es la bisectriz (recta roja) que hemos representado. Corresponde al ángulo que forman las dos rectas azules, y que hemos representado en amarillo. 
De la primera igualdad resulta: x-y-3=0, que es la bisectriz (recta gris) que hemos representado. Corresponde al otro ángulo que forman las dos rectas azules, o sea al suplementario del ángulo amarillo representado. 

Las dos bisectrices se cortan en el mismo punto que lo hacen las rectas y son perpendiculares entre sí.

Tenemos dos rectas, r1 y r2, que se cortan en un punto formando un ángulo, del que queremos hallar su bisectriz. 

Las ecuaciones de r1 y r2  pueden verse en la escena, así como las distancias de un punto X de la recta roja a r1 y r2.

Halla la ecuación de la bisectriz, y cuando averigües su pendiente, m, introduce su  valor en la escena , y comprueba que se cumple que:

Circunferencia de centro C y radio r es el lugar geométrico de los puntos, X, cuya distancia a C es r

dist (X,C) = r

Si mueves con el ratón el punto X, verás que la distancia de C a X  sólo es 5 cuando X está en la Circunferencia.

EJERCICIO 25

En este ejercicio vas a hallar la ecuación de la circunferencia de centro C(-3,0) y radio r=5. 

Tienes que aplicar la expresión:   dist(X,C) = r para llegar a obtener la ecuación de la circunferencia que se muestra en la parte inferior de la escena.   Donde X(x,y), C(-3,0) y r=5

Nota: La circunferencia la estudiarás más detenidamente en otro tema.

dist(X,F₁) + dist(X,F₂) = k

Aquí tenemos dibujada la elipse cuyos focos son F1(-5,2) y F2(4,9) y k=15

Si desplazas el punto X con el ratón, verás que solamente cuando X es un punto de la elipse, se cumple que: 

Esto es,  resulta la siguiente ecuación:

  
Nota: La elipse la estudiarás más detenidamente en otro tema.