ÁNGULOS POLIEDROS. TRIEDROS
Geometría
 

1. ÁNGULO POLIEDRO

Si observas la habitación en la que te encuentras puedes ver cómo dos paredes contiguas junto con el techo se encuentran en un punto. El espacio en torno a ese punto que está comprendido entre las paredes y el techo se denomina triedro o ángulo triedro. En general se llama ángulo poliedro a la región del espacio limitada por tres o más planos que se cortan dos a dos según rectas concurrentes en un punto (vértice). al igual que ocurre con los ángulo diedros los ángulos poliedros tienen caras y aristas. Según el números de ángulo diedros el ángulo poliedro se llamará triedro, tetraedro, pentaedro, hexaedro, heptaedro, etc. 

Cada uno de ellos puede ser también cóncavo o convexo según que la sección producida por un plano que lo corta sea un polígono cóncavo o convexo, respectivamente. La siguiente escena nos muestra diversos ángulos poliedros que has de clasificar atendiendo a los dos criterios mencionados.

 

1.- Observa los cuatro ángulos poliedros de arriba y dibújalos en tu cuaderno. Copia debajo de dichos dibujos la tabla siguiente y completa las casillas que faltan:

ángulo poliedro n║ n║ caras n║ aristas n║ diedros cóncavo/convexo NOMBRE
1 3        
2   4     tetraedro
3     4    
4       convexo  

 

Puedes girar los ángulos poliedros Arrastrando el ratón con el botón izquierdo (en torno a un eje vertical si lo hacemos de izquierda a derecha y en torno a un eje horizontal si arrastramos de arriba abajo)

Arrastrando el ratón arriba o abajo con el botón derecho oprimido se aumenta o disminuye la escala (se hace zoom).

2.-┐Puede haber un ángulo triedro cóncavo?


2. ÁNGULOS TRIEDROS (1)

Al igual que en un ángulo diedro hablábamos de ángulo rectilíneo del diedro en los ángulos poliedros hablaremos de los ángulos de las caras. Dadas tres medidas cualesquiera a, b y c sabemos que para que exista un triángulo cuyos lados midan a, b y c es necesario que se cumplan ciertas condiciones. Al igual que ocurre con los triángulos, dados n ángulos cualesquiera no siempre existe un ángulo poliedro en el que los ángulos de sus caras coincidan con ellos. En las escenas siguientes trataremos de averiguar las condiciones de existencia de un triedro según sean los ángulos de sus caras. Para simplificar la cuestión suponemos que las medidas de los ángulos de las caras son diferentes, con lo cual siempre hay una mayor que las demás (aquí será la de 120║). 

 

En las escenas siguientes la figura de la derecha representa en dos dimensiones el desarrollo del ángulo triedro de medidas 70║, 120║ y 85║. Arrastrando el punto de control A a través del segmento de extremos A y AA se dobla la cara AVD por el lado CV y arrastrando el punto de control B a través del segmento de extremos B y BB se dobla la cara BVC por el lado DV. El punto S indica la posición de encuentro de ambos puntos de control en la que se forma el triedro tal y como se puede observar en la figura tridimensional de la izquierda de la escena cuyo movimiento acompasa al de la otra figura.

3.- Arrastra los puntos de control A y B y observa que sólo se "cierra" el triedro cuando los dos están en un punto. ┐Con qué letra se designa dicho punto?

4.- Observa la figura bidimensional de la escena. Sobre un folio o cartulina y utilizando los útiles de dibujo traza y recorta un polígono ACDBV cuyos ángulos AVC, CVD y BVD sean respectivamente 90║, 120║ y 100║. Dobla convenientemente la figura y pega los lados AV y BV  para obtener el triedro correspondiente.

5.- En los dos casos anteriores ┐cómo es la suma de los ángulos menores comparada con el mayor?


3. ÁNGULOS TRIEDROS (2)

En la escena siguiente la figura de la derecha representa en dos dimensiones el desarrollo del ángulo triedro de medidas 50║, 120║ y 40║. Arrastrando el punto de control A a través del segmento de extremos A y AA se dobla la cara AVD por el lado CV y arrastrando el punto de control B a través del segmento de extremos B y BB se dobla la cara BVC por el lado DV. La figura tridimensional de la izquierda acompasa el movimiento de la otra figura.

6. -Arrastra los puntos de control A y B e intenta "cerrar" el triedro. ┐Qué ocurre en este caso?

7.- Observa la figura bidimensional de la escena. Sobre un folio o cartulina y utilizando los útiles de dibujo traza y recorta un polígono ACDBV cuyos ángulos AVC, CVD y BVD sean respectivamente 60║, 120║ y 40║. Dobla convenientemente la figura e intenta unir los lados AV y BV  para obtener el triedro correspondiente. ┐Qué ocurre?

8.- En los dos casos anteriores ┐cómo es la suma de los ángulos menores comparada con el mayor?


4. ÁNGULOS TRIEDROS (3)

En los dos casos anteriores hemos comparado el ángulo mayor de un triedro con la suma de los otros dos pero ┐es suficiente esto para saber si con tres ángulos cualesquiera se puede formar un ángulo triedro? Veremos ahora que para ello es necesario comparar el valor de la suma de los tres ángulos con 360║.

9.- Observa la figura bidimensional de la escena. Sobre un folio o cartulina, utilizando los útiles de dibujo, traza y recorta un polígono (triángulo) ACD cuyos ángulos AVC, CVD y AVD sean respectivamente 70║, 120║ y 170║ y corta por AV. ┐Se puede formar un ángulo triedro?

10.- ┐Cuánto suman los tres ángulos de la escena? ┐y los del apartado 9?

11.- ┐Compara con 360║ la suma de las ternas de ángulos utilizadas en las dos escenas anteriores y en los ejercicios correspondientes a ellas.

12.- Finalmente y como resumen de lo anterior, suponiendo que nos dan tres ángulos diferentes, escribe las dos condiciones requeridas para que con ellos se pueda formar un ángulo triedro.


   
       
  Javier de la Escosura Caballero
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2003
 
 

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