GENERACIÓN DE CURVAS COMO ENVOLVENTES
La mayoría de las curvas que se estudian en las diversas ramas de la Matemática, tienen aplicaciones en la resolución de problemas técnicos, pues no en vano las teorías surgen precisamente como respuesta y solución de problemas planteados en la práctica.
En esta unidad estudiaremos la envolvente de una familia de curvas que será, en determinadas condiciones que aseguren su existencia, una curva que tendrá buenas propiedades de tangencia con las curvas de la familia dada. Esta propiedad hace que la teoría de envolventes sea utilizada en determinados problemas de ingeniería y otros campos de las ciencias.
Si tenemos cierta familia de líneas, se denomina envolvente de dicha familia a la línea que en cada uno de sus puntos contacta con una de las líneas de la familia dada.
Familia de líneas que describen las trayectorias de los proyectiles lanzados con una velocidad v por un cañón instalado en un cierto punto O de la superficie terrestre cuando cambiamos el ángulo de tiro a.
1.- Modifica el ángulo de tiro a (desde 0 hasta 180) y observa las distintas trayectorias. ¿Qué tipo de curvas son las trayectorias?
2.- Cambia la velocidad inicial, por ejemplo, a 30. Limpia la escena y repite el proceso anterior. Describe lo que observas. (Modifica el zoom si es necesario)
3.-Observa el punto de impacto para 30 y 60. Idem para 15 y 75. Escribe en tu cuaderno lo que observas.
4.- ¿Cuándo se alcanza la mayor distancia? ¿Y la mayor altura?
La envolvente de las trayectorias del vuelo de los proyectiles es una parábola, llamada parábola de seguridad, ya que limita en realidad la zona de fuego.
Familia de curvas compuestas de circunferencias del mismo radio R con centros en la recta dada l.
Considera la recta l como el eje horizontal.
1.- Mueve con el ratón o con el pulsador el centro de la circunferencia a lo largo de la recta l. Todas las circunferencias "tocan" a dos rectas. Escribe en tu cuaderno la ecuación de dichas rectas.
2.- Modifica el radio de la circunferencia, pro ejemplo R = 2. Limpia la escena y repite el proceso anterior.
3.- ¿Cual es la envolvente de una familia de circunferencias de radio 2 cuyos centros se encuentran en la recta y = x?
Familia de circunferencias de radio R cuyos centros se encuentran en una circunferencia dada de radio r.
1.- Mueve con el ratón el centro A de la circunferencia alrededor de la circunferencia de radio r. Todas las circunferencias "tocan" a dos curvas. Escribe en tu cuaderno las ecuaciones de dichas curvas.
2.- ¿Qué ocurre si R = r? ¿Y si R > r, por ejemplo R = 3 y r = 2 ?
El segmento de longitud l resbala con sus extremos por dos rectas de mutua perpendicularidad. Hallemos la envolvente de estos segmentos. Esta envolvente se denomina ASTROIDE.
1.- Mueve con el ratón o con el pulsador el punto M y describe la envolvente.
2.- Dibuja en tu cuaderno la envolvente de cuatro segmentos de igual longitud, si cada uno de ellos resbala sobre cada uno de los cuatro cuadrantes. Esta curva es la ASTROIDE.
En el plano se da un ángulo recto. Se traza todas las rectas posibles que cortan en este ángulo, triángulos cuya área es 2. Hallemos la envolvente de estas rectas.
1.- Modifica los valores de M y observa las distintas rectas.
2.- ¿Qué ocurre cuando el punto M se aleja del origen de coordenadas? ¿Y si se aproxima? Explica en tu cuaderno las respuestas.
3.- ¿Sabrías dar la ecuación de la envolvente de dichas rectas?.
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