FUNCIONES Y GRÁFICAS

Construcción de la función tangente


Definición  de tangente  de  un  ángulo  agudo:

Sea A un ángulo agudo de un triángulo rectángulo. La tangente del ángulo A es el cociente entre el cateto opuesto BC y el adyacente AB.

1.- Modifica el valor del ángulo A y observa cómo cambia el valor de la tangente. (Puedes pulsar las flechitas de colores o escribir el valor del ángulo entre 0 y 90)

Comprueba que si se modifica sólo la longitud del cateto AB también cambian el cateto BC y la hipotenusa AC, sin embargo el ángulo A no cambia y el cociente BC/AB, que es el valor de la tangente, tampoco.


Definición  de  tangente   de  un  ángulo  cualquiera.

Sea A un ángulo cualquiera, si lo representamos con el vértice en el origen de coordenadas y un lado sobre el semieje OX positivo la tangente del ángulo se puede obtener como cociente entre la ordenada de cualquier punto del segundo lado del ángulo y su abcisa. (Los angulos positivos se miden en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj)

2.- Modifica el valor del ángulo A y observa cómo cambia el valor de la tangente. Prueba para valores positivos, negativos, mayores que 360, etc. (Puedes pulsar las flechitas de colores o escribir el valor de un ángulo cualquiera)

Comprueba que si se modifica sólo la distancia de punto P al origen, sin cambiar el ángulo, también cambian las coordenadas x e y, sin embargo el ángulo A no cambia y el cociente y/x, que es el valor de la tangente, tampoco.

 

3.- Qué pasa cuando el ángulo A vale 90? y 270?


La tangente   en  la circunferencia  goniométrica.

Se llama circunferencia goniométrica a la que tiene su centro en el origen de coordenadas y de radio uno.

Cualquier punto de la circunferencia dista 1 del origen, por lo tanto, si representamos el ángulo con el vértice en el origen de coordenadas y un lado sobre el semieje OX positivo, el valor de la tangente coincide con la ordenada del punto cuya abcisa vale uno (ya que, entonces, el denominador vale 1).

Observa que el segmento que obtenemos es tangente a la circunferencia goniométrica.

4.- Modifica el valor del ángulo y observa que la  tangente del ángulo es la longitud del segmento verde. (Puedes pulsar las flechitas de colores o escribir el valor de un ángulo cualquiera)


La  función tangente

Construcción de la función tangente a partir de la circunferencia goniométrica.

5.- Aumenta el valor del ángulo en la circunferencia goniométrica y observa los valores de la tangente sobre la circunferencia y en la gráfica y = tg(x), donde x es el ángulo medido en radianes. (Puedes pulsar las flechitas de colores o escribir el valor del ángulo entre 0 y 360)


La  función tangente

Despues de media vuelta a la circunferencia goniométrica los valores de la tangente vuelven a repetirse. Por ello se dice que esta función es periódica, de periodo p,(recuerda que las funciones seno y coseno tenían de periodo 2p).

6.- Utiliza el cambio de escala, aumentándolo y disminuyéndolo. (Puedes pulsar las flechitas de colores o escribir el valor del ángulo cualquiera)

A qué función se parece la tangente para valores próximos a cero?

7.- Qué pasa cuando se acerca a  p/2 (90)? y a 3p/2 (270)? En qué otros valores ocurre esto mismo?


Relación  entre  el   senocoseno  y tangente  de  un  ángulo  agudo:

Sea A un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, recuerda que:
El seno del ángulo A es el cociente entre el cateto opuesto BC y la hipotenusa AC.
El  coseno del ángulo A es el cociente entre el cateto adyacente AB y la hipotenusa AC.
La tangente del ángulo A es el cociente entre el cateto opuesto BC y el adyacente AB.

Por tanto es fácil comprobar que:  

8.- Modifica el valor del ángulo A y observa cómo coincide el valor de la tangente con el valor del cociente del seno por el coseno. (Puedes pulsar las flechitas de colores o escribir el valor del ángulo entre 0 y 90)

 


Relación entre el  seno,   coseno  y tangente  de un ángulo cualquiera.

La misma relación que existe entre en seno, coseno y tangente en un ángulo agudo, existe, también con un ángulo cualquiera. Basta con comprobar el cociente.

9.- Modifica el valor del ángulo A y observa cómo coincide el valor de la tangente con el valor del cociente del seno por el coseno. Prueba para valores positivos, negativos, mayores que 360, etc. (Puedes pulsar las flechitas de colores o escribir el valor de un ángulo cualquiera)

 

10.- Qué pasa cuando el ángulo A vale 90? y 270?

 

Autor: Rafael Angel Martínez Casado