Se llaman ecuaciones exponenciales a las ecuaciones en las que en algún miembro aparece una expresión exponencial (potencia de base constante (número) y exponente variable (x, y, etc)). Por ejemplo:

_{a) 3}2-x² _{= 3}

b) 4^2x+1 = (0,5)^3x+5

c) 2^x-1 + 2^x + 2^x+1 = 7

d) e^x - 5e^-x + 4e^-3x =0.

Inicialmente, como en cualquier ecuación, se trata de encontrar algún valor de x que cumpla la igualdad.

En casos sencillos, eso se puede lograr por simple observación. Por ejemplo, si se nos plantea la ecuación:

2^x = 4, evidentemente el valor x = 2 es una solución. Claro que no siempre será tan sencillo.

Pero veamos ya gráficamente lo que esto significa

Si representamos la función exponencial y = 2^x y la recta y = 4, el valor de la abscisa "x" del punto de corte de ambas gráficas será la solución de la ecuación.

Obsérvalo en la siguiente escena.

1.-Resuelve las ecuaciones gráficamente, de forma idéntica a como hemos visto para 2^x = 4. Basta representar las dos funciones dadas por los dos miembros de la ecuación y la "x" del punto de corte será la solución.

2.-Resuélvelas  gráficamente consiguiendo que en la ecuación el segundo miembro sea 0 y representando la función correspondiente al primer miembro. Los puntos de corte con el eje X serían las soluciones.

Corresponden a este tipo los dos primeros ejemplos:

_{a)  3}2-x² _{= 3  y b)}  4^2x+1 = (0,5)^3x+5

En ambos casos, a diferencia de los otros dos, se observa que los dos miembros de la ecuación contienen un sólo término ("no hay sumas").

Comprobemos gráficamente la solución. En la siguiente escena se observa cómo la primera ecuación tiene dos soluciones: x = 1 y x = -1.

2.-Escribe en tu cuaderno que para resolver numéricamente estas ecuaciones hay que conseguir que ambos miembros estén expresados como potencias de la misma base e igualar posteriormente los exponentes. Para ello hay que tener muy presentes las propiedades de las potencias.

Así, en el ejemplo segundo anterior se procedería como sigue:4^2x+1 = (0,5)^3x+5 ; 2^2(2x+1) = (1/2)^3x+5; 2^4x+2 = 1/2^3x+5 ; 2^4x+2 = 2^-(3x+5) ; 2^4x+2 = 2^-3x-5, con lo que igualando los exponentes se obtiene la ecuación: 4x+2 = -3x-5, cuya solución es ya sencilla: 7x = -7; y finalmente x = -1 como ya habíamos comprobado.

3.- Resolver numéricamente la ecuación siguiente, comprobando que coincide con la solución gráfica anterior.

₃2-x² _{= 3}

Gráficamente se pueden resolver como en el caso anterior representando cada miembro de la ecuación como se ve en la pantalla siguiente con la ecuación: 2^x-1 + 2^x + 2^x+1 = 7, donde se observa que la solución es x = 1.

1.- Escribe en tu cuaderno las siguientes explicaciones sobre el método numérico de resolver este tipo de ecuaciones

Solución numérica :Supongamos la ecuación 2^x-1 + 2^x + 2^x+1 = 7. Se trata de conseguir que todas las expresiones exponenciales sean iguales y lo más sencillas posibles. En este caso 2^x, para lo que basta usar adecuadamente las propiedades de las potencias:2^x/2+ 2^x + 2·2^x = 7 .

Conseguido esto llamamos a 2^x = z con lo que nos queda la ecuación z/2 + z + 2z = 7; ecuación de primer grado que sabemos resolver (Ver el tema de ecuaciones si se desea).

Una vez resuelta se obtiene z = 2, con lo que volviendo al cambio realizado: 2^x = 2. Ecuación exponencial del tipo que hemos trabajado antes, cuya solución es x = 1.

d) e^x - 5e^-x + 4e^-3x =0.

1.-Resuélvela  numéricamente y utiliza la escena, escribiendo las ecuaciones que debes resolver numéricamente. Habrás obtenido una solución clara: x = 0 y otra no entera x = 0,67 aproximadamente, que numéricamente se obtiene de resolver e^x = 4 ¿sabrás calcular x usando logaritmos?. En realidad si te fijas x = ln 4. También puedes usar la escena para resolverla..

2.- Utiliza esta escena y resuelve numéricamente las ecuaciones:

_{e) 3}1-x² _{= 1/27 .......}

f) 5^x+1 + 5^x = 750.....

g) 4^x - 2^x = 2.....

 h) 9^x - 2·3^x+2 + 81 =0.

Los métodos de resolución numéricos son idénticos a los expuestos para las ecuaciones.

Gráficamente basta representar las ecuaciones correspondientes que se pueden escribir tal y como se nos presentan.

2^x - 3^y-1 = 5

2^x+1 + 8·3^y =712

2.- Resuelve numéricamente y gráficamente (cambiando las ecuaciones en la escena anterior), el sistema de ecuaciones exponenciales:

2^x + 5^y = 9

2^x+2 - 5^y+1 = - 9 

Sol: x = 2 ; y = 1