Extracte de la pàgina http://www.xtec.es/~bfiguera/curioso.html#quadrat

Autor: Blai Figueras Álvarez

NOMBRES AL QUADRAT

Distància entre nombres al quadrat

    "La distància o diferència entre 2 nombres consecutius al quadrat és la suma dels dos".

    Exemples:  8² = 64 i 9² = 81. La seva diferència 81 - 64 = 17, és a dir, 9 + 8 = 17
    Això serveix en tots els casos...    24² = 576, 25² = 625, la diferència és 49 = 24 + 25

    A partir d'aquí podem definir que la distància entre 2 nombres qualssevol al quadrat és la coneguda fórmula, tantes vegades memoritzada, però potser no sempre valorada en aquest aspecte del càlcul: "La distància entre 2 nombres qualssevol al quadrat és la suma per la diferència".
                a² - b² = (a + b) · (a - b)

       Exemple: 9² = 81, 5² = 25, 81 - 25 = 56, és a dir: (9 + 5) · ( 9 - 5 ) = 14 x 4 = 56

     Això, òbviament, ens pot permetre calcular nombres al quadrat a partir dels que ja coneixem:
    Ex. Quant serà 26², si sabem que 25² = 625 ?
    Només hem de sumar 25 + 26 = 51, i afegir això al 625, o sigui, 625 + 51 = 676
    Exercici: Quant és 37², si sabem que 30² = 900 ?      >>>  Suma = 67,  Diferència = 7
    Amb una mica d'habilitat calcularem 67 x 7 = 469 i el sumarem a 900, per obtenir: 37² = 1.369

    EXERCICI: Quant és 54², si sabem que 50² = 2.500 ?
                       Quina serà la diferència entre 41² i  26²  ?  


Un mètode ràpid de calcular nombres al quadrat
 

    a) Començaré amb el quadrat dels nombres de 2 xifres acabats en 5:
    El quadrat dels nombres tipus 15, 25, 35, etc. es poden fer de forma molt ràpida: "Multiplicant la desena pròpia per la següent i afegint un 25 darrere"   

Anem a veure alguns exemples:
    Ex. 15²:     multipliquem la seva desena 1 per la següent 2, i obtenim 2
                    afegim un 25 darrere i tenim el 225, que és 15².
    Ex. 45² :    4 x 5 = 20, afegim el 25 i surt 2.025 = 45²
    Ex. 65² :    6 x 7 = 42, afegim el 25 i ja tenim el 65² = 4.225      (sorprenent o no?)

 

    b) Quadrat dels nombres de dues xifres acabats en 1:
    El quadrat dels nombres tipus 11, 21, 31, etc. es pot calcular de manera ràpida en tres parts: "Quadrat de la desena, el doble de la desena, afegim un 1"   

    Exemples: 11²:   quadrat de la desena 1 x 1 = 1
                            el doble de la desena 1 + 1 = 2
                            li afegim un 1  >>>> i obtenim el 121 = 11²
    Ex. 31²:    quadrat de la desena 9, el doble de la desena 6, li afegim un 1  >>> 31² = 961 Si la suma de les desenes passa de 9, aleshores en portem 1 quan construïm el nombre:    

Ex. 61²:    quadrat de la desena 36, el doble de la desena 12 en aquest cas, com que passa de 9 la suma en portem 1, o sigui, 372, i li afegim un 1  >> 61² = 3.721

 

    c) Quadrat dels nombres de dues xifres acabats en 9:
    El quadrat dels nombres tipus 19, 29, 39, etc. es poden calcular de manera ràpida en tres parts: "Al quadrat de la desena següent li afegim el 0, restem el doble de la desena següent i afegim un 1"    

    Ex. 29²:       quadrat de la desena següent 3 x 3 = 9, afegim el 0, o sigui, 90
                      li restem el doble de la desena 3 + 3 = 6, és a dir, 90 - 6 = 84
                      li afegim un 1  >>>> i obtenim el 841 = 29²
    Ex. 49²:       quadrat de la desena següent 25 >> 250, restem el doble de la desena següent 10, 250 - 10 = 240, li afegim un 1  >>> 49² = 2401

 

    d) Quadrat dels nombres de dues xifres acabats en 2 (i les altres xifres del 3 al 8):
    D'una manera semblant als acabats en 1, farem els acabats en 2: "Quadrat de la desena, el doble de la desena per 2, afegim un 4 (quadrat del 2)"    

    Ex: 22²:      quadrat de la desena 2 x 2 = 4
                    el doble de la desena 2 + 2 = 4 per 2 >> 8
                    li afegim un 4  >>>> i obtenim el 484 = 22²
   Ex: 52²:      quadrat de la desena 5 x 5 = 25
       el doble de la desena 10 per 2 = 20, és a dir, en portem 2, per tant, 25+2 = 27 >> 270
                   li afegim un 4  >>>> i obtenim el 2704 = 52²

    El mètode es pot generalitzar per als altres nombres.


    Per acabar anem a veure els nombres acabats en 3: "Quadrat de la desena, el doble de la desena per 3, afegim un 9 (quadrat del 3)"    

    Ex. 73²:     quadrat de la desena 7 x 7 = 49
       el doble de la desena 7 + 7 = 14 per 3 >> 42, en portem 4, per tant, 49+4 = 53 >> 532
                    li afegim un 9  >>>> i obtenim el 5.329 = 73²

    EXERCICI: Calcular amb aquest mètode els següents nombres al quadrat:
      35² = ... ;   41² = ... ;   32² = ... ;  75²  = ... ;  59² = ... ; 115² = ...


Mètode dels "productes equidistants"

   Un aspecte interessant dels nombres al quadrat és la "pèrdua" que es produeix si augmentem i disminuïm els nombres en una quantitat constant, és a dir, la diferència d'àrea entre quadrats i rectangles amb un mateix perímetre.
    Prenem un quadrat de costat a i el convertim en un rectangle de costats: a + k ia - k.
 Anem a veure què passa amb un exemple numèric: 24² = 576
 >  25 x 23 = 575  (-1)    Hem sumat i restat 1 i la distància és
 >  26 x 22 = 572  (-4)    Hem sumat i restat 2 i la distància és
 >  27 x 21 = 567  (-9)    Hem sumat i restat 3 i la distància és
 >  28 x 20 = 560 (-16)   Hem sumat i restat 4 i la distància és
                                                >  29 x 19 = 551 (-25)  Hem sumat i restat 5 i la distància és

    Podem concloure, doncs, que:
"La diferència entre l'àrea d'un quadrat i l'àrea d'un rectangle, generat a partir d'aquell, és igual al quadrat de la deformitat aplicada"

    D'aquí també se'n pot treure una aplicació numèrica en el càlcul ràpid del producte de nombres que siguin equidistants a un nombre al quadrat, així, si observem que 18 i 12 són equidistants al 15, podrem calcular molt ràpidament 18 x 12, ja que 15² = 225 i la distància és 3² = 9, deduïm que 18 x 12 = 216.

Només es pot aplicar quan els dos factors són parells o els dos senars.    

    Aquest "mètode dels productes equidistants" és molt eficaç amb l'única condició de memoritzar una bona sèrie de nombres al quadrat i d'observar ràpidament si un producte ho permet o no.

    EXERCICI: Calcular amb aquest mètode aquells productes que permetin la seva aplicació:
  29 x 21 = ... ; 35 x 30 = ... ; 18 x 12 = ... ; 23 x 31 = ...  ; 37 x 32 = ... ; 54 x 46 = ...


  TRIANGLES PITAGÒRICS ENTERS

Expressions matemàtiques per obtenir triangles rectangles amb valors enters

    El gran Pitàgores de Samos ens va llegà el seu arxiconegut Teorema dels triangles rectangles, pilar fonamental de càlculs geomètrics i trigonomètrics, en què es relacionen les mesures dels catets i de la hipotenusa: a² = + c²   

    Com que quan apliquem aquesta fórmula matemàtica hem d'acabar calculant una arrel quadrada, quasi sempre ens trobarem que no obtenim valors exactes, o més ben dit, valors enters.
    Al mateix Pitàgores li devem el triangle rectangle arquetipus de mides 3, 4 i 5, però si pretenem utilitzar altres triangles rectangles amb valors enters quasi mai ho aconseguirem i acabarem recorrent a aquest triangle pitagòric (3, 4, 5) o als seus múltiples.
    Dedico aquesta secció a exposar unes expressions matemàtiques que ens permetran obtenir la majoria dels triangles rectangles de valors enters que existeixen, són fruït d'una bona idea inicial i d'un estudi exhaustiu posterior. Així que podeu prendre nota i, d'aquesta manera, tenir una petita eina amb la que podreu generar problemes, etc. que sempre tinguin com a solució valors enters, o simplement veure aquest capítol com una curiositat matemàtica més.

    La primera expressió ens genera les 3 mides de triangles rectangles en què el catet petit és un nombre senar:     2n + 1, 2n(n + 1), 2n² + 2n + 1

    Així per n = 1 obtenim els valors: 3, 4 i 5 (us sona?). Per n = 2: 5, 12, 13, etc.

    La segona expressió ens genera les 3 mides de triangles rectangles en què el catet petit és un nombre parell:     2(n + 1), n(n + 2), n² + 2n + 2

    Ex. per n = 1 obtenim els valors: 4, 3 i 5 (altra vegada). Per n = 3:  8, 15, 17, etc.
    Anem a veure una taula amb els 7 primers valors de cadascuna:

 

2n + 1

2n(n + 1) 2n² + 2n + 1

n

2(n + 1) n(n + 2) n² + 2n + 2
3 4 5 1 4 3 5
5 12 13 2 6 8 10
7 24 25 3 8 15 17
9 40 41 4 10 24 26
11 60 61 5 12 35 37
13 84 85 6 14 48 50
15 112 113 7 16 63 65

    A les dues expressions exposades hi hauríem d'afegir una constant k, que en multiplicar-la per cadascun dels valors obtinguts i prenent diferents valors ens permeti obtenir els múltiples d'aquestes mides, que òbviament, també satisfan el Teorema de Pitàgores:

[2n + 1, 2n(n + 1), 2n² + 2n + 1] · k
[2(n + 1), n(n + 2), n² + 2n + 2] · k
    

Ara ja teniu un bon grapat d'exemples i amb les expressions matemàtiques podreu obtenir-ne més.
    De totes maneres aquests no són els únics i, per això, vaig acabar buscant un altre algoritme de càlcul més general.
    Partint de la coneguda regla, exposada en el capítol anterior, que diu que:

    "La distància entre 2 nombres qualssevol al quadrat és la suma per la diferència"
    x² - y² = (x + y) · (x - y)    

    Es pot fer la següent demostració:
    Si tenim un nombre a, que és múltiple d'altres, el podrem expressar com a = x · y
    Segons el Teorema de Pitàgores:  = - = (c + b) · (c - b)
    D'aquí podem deduir que:  x² · y² = (c + b) · (c - b), i per tant:
x² = c + b
y² = c - b Si ara resolem aquest sistema d'equacions tindrem:

c = (x² + y²) / 2 , b = (x² - y²) / 2 , a = x · y    

    O sigui, donat un catet que amida a el podrem expressar en forma de producte de dos divisors: x · y (fins i tot els nombres primers: a = a · 1 => x = a, y = 1, satisfan aquesta fórmula => veure la taula) i a partir d'aquests trobem que: l'altre catet és la meitat de la diferència dels quadrats dels seus divisors i la seva hipotenusa és la meitat de la suma dels quadrats dels seus divisors.

    L'únic petit problema que sorgeix aquí és que com que hem de dividir per 2 en alguns casos (si un divisor és parell i l'altre senar) no surten valors exactes, però els seus múltiples parells sí que ho seran i, en qualsevol cas, com a màxim tindrem un decimal .5 també molt interessant.
    Anem a veure ara uns quants exemples:

 
a = x · y b
(x² - y²) / 2
c=
(x² + y²) / 2
a = x · y b
(x² - y²) / 2
c=
(x² + y²) / 2
27 = 9 · 3 (9² - 3²) / 2 = 36 (9² + 3²) / 2 = 45 45 = 15 · 3 (15² - 3²) / 2 =108 (15² + 3²) / 2 =117
32 = 8 · 4 (8² - 4²) / 2 = 24 (8² + 4²) / 2 = 40 48 = 8 · 6 (8² - 6²) / 2 = 14 (8² + 6²) / 2 = 50
33 = 11 · 3 (11² - 3²) / 2 = 56 (11² + 3²) / 2 = 65 17 = 17 · 1 (17² - 1²) / 2 =144 (17² + 1²) / 2 =145
35 = 7 · 5 (7² - 5²) / 2 = 12 (7² + 5²) / 2 = 37 36 = 9 · 4 (9² - 4²) / 2 = 32.5 (9² + 4²) / 2 = 48.5

    En aquest últim exemple tenim a = 36, b = 32.5, c = 48.5, d'aquí podem deduir que els seus múltiples parells sí són enters com: a = 72, b = 65, c = 97, a = 144, b = 130, c = 194, etc.

    Fins aquí aquest estudi, per concloure només diré que encara queda un grup de triangles rectangles de valors enters que no es generen amb cap de les expressions exposades, però sí que amb aquestes obtindrem la majoria dels que existeixen i, per tant, em semblen de gran utilitat.

Càlcul de la diagonal d'una figura geomètrica que no existeix!
 
    Si volem calcular la mesura la diagonal d'un quadrat coneixent la mida dels seus costats, només necessitarem aplicar el Teorema de Pitàgores.
    Així un quadrat de costat 1, tindrà una diagonal que mesura V¯2¯ (arrel quadrada de 2)
    A partir d'aquí podem deduir que la diagonal d'un quadrat de costat n mesura: d =n · V¯2¯


    Si ara volem calcular la mesura de la diagonal d'un cub, entre dos vèrtexs de cares oposades, també podrem aplicar el Teorema de Pitàgores si triangularitzem el cub i observem el triangle rectangle format per una aresta inferior
a, la diagonal de la cara lateral d i la diagonal gran D.
    Així observarem que
=+
    En el cas del cub d'aresta
a = 1 la diagonal lateral
d = V¯2¯ i, per tant:=+ (V¯2¯)² = 1 + 2 = 3  =>  D = V¯3¯    
Òbviament podrem afirmar que la diagonal gran d'un cub de costat n amida: D =n · V¯3¯
   Amb tot això, i si seguim aquest procediment de triangularització, podríem calcular quant mesuren les diagonals de figures geomètriques de més de 3 dimensions, és a dir, de figures que no existeixen, ni podem tampoc imaginar donada la nostra limitació tridimensional.
    La diagonal gran d'una figura del tipus d'un cub, però de 4 dimensions, serà:
D = n · V¯4¯ = 2n    La diagonal gran d'una figura del tipus d'un cub, però de 5 dimensions, serà: D = n · V¯5¯, etc.
    És magnífic poder calcular quelcom que no podem ni tan sols imaginar la seva forma! Em meravella que una ciència com les matemàtiques pugui arribar on no ho fa ni la imaginació!
    Com m'agradaria arribar a un món quadridimensional i demanar als seus habitants que m'ensenyessin un dau i observar aquest objecte en què la seva diagonal mesura el doble que les seves arestes...


SOLUCIONS:

    54² =  2.916     (2.500 + 104 x 4 = 2.916)
    41² - 26²  =  (41 + 26) x (41 - 26) = 67 x 15 = 1.005

    35² = 1.225      (3 x 4 = 12, 25)
    41² = 1.681      (4² = 16, 4 x 2 = 8, 1)
    32² = 1.024      (3² = 9, 3 x 2 x 2 = 12, 2² = 4) >> 9 +1 = 10, 2, 4 >> 1.024
    75²  = 5.625     (7 x 8 = 56, 25)
    59² = 3.481      (6² = 36, 6 x 2 = 12, 1) >> 360 - 12 = 348, 1 >> 3.481
   115² = 13.225   (11 x 12 = 132, 25)

    29 x 21 = 25² - 4² = 625 - 16 = 609
    35 x 30  = 1.050 (no)
    18 x 12 = 15² - 3² = 225 - 9 = 216
    23 x 31 = 27² - 4² = 729 - 16 = 713
    37 x 32 = 1.184 (no)
    54 x 46 = 50² - 4² = 2.500 - 16 = 2.484

 

Extracte de la pàgina http://www.xtec.es/~bfiguera/curioso.html#quadrat

Autor: Blai Figueras Álvarez