OTROS EJEMPLOS
Análisis
 

1.  Discontinuidad evitable

Teníamos pendiente estudiar el comportamiento de la derivada en las discontinuidades evitables.

Vamos a ver otro ejemplo de una función que tiene en x=2 una discontinuidad evitable. La función es

1.- Recorre la curva arrastrando P con el ratón. Fíjate en lo que aparece en la escena para familiarizarte con ella. Observa la discontinuidad evitable en a=2

2.- Sitúate en el punto a=2 y elige un punto a su derecha modificando el valor de h. Observa cómo varían las TVM para h>0 y acercándose a cero. Si h=0 la secante se convierte en una recta vertical. La DERIVADA POR LA DERECHA ES MAS INFINITO.

3.- Sitúate de nuevo en a=2, elige ahora puntos a su izquierda (h<0) y observa la evolución de las TVM. Si h=0 la secante se convierte de nuevo en una recta vertical. LA DERIVADA POR LA IZQUIERDA ES MENOS INFINITO

4.- Esta función NO ES DERIVABLE en x=2 y NO EXISTE TANGENTE en ese punto.

5.- Elige otro punto y acércate a él dando a h valores positivos para ver la derivada por la derecha, y negativos para ver la derivada por la izquierda. Para h=0 aparecen las dos derivadas y coinciden. LA FUNCION ES DERIVABLE Y EXISTE RECTA TANGENTE .

Las funciones con discontinuidad evitable no son derivables en los puntos de discontinuidad ya que las derivadas laterales son infinitas. En estos puntos la tangente no existe, las secantes evolucionan hacia una recta vertical que pasa por la discontinuidad.

2.Derivadas laterales infinitas. Caso1

Veamos la función

Se trata de una función que es continua en todos los puntos. Vamos a fijarnos con atención en el punto de abscisa a=0

Fíjate en la siguiente escena:

1.- Localiza en la gráfica el punto a=0. Esta función es continua en este punto.

2.- Fíjate en el valor que toman la TVM en h=1, h=0.1, h=0.01, h=0.001, h=0.0001. Esta función en a=0. NO TIENE DERIVADA POR LA DERECHA PORQUE ES INFINITA

3.- Repite el proceso para h=-1, h=-0.1, h=-0.01, h=-0.001, h=-0.0001 y observa la evolución de las TVM. Crecen muy deprisa al acercarnos a a=0. NO TIENE DERIVADA POR LA IZQUIERDA PORQUE DE NUEVO ES INFINITA

4.- Fíjate en la evolución de las rectas secantes al acercarnos a a=0. Son rectas que se van poniendo verticales

5.- Esta función NO ES DERIVABLE en x=0 porque las derivadas laterales, aunque coinciden, SON INFINITAS.

6.- La función NO TIENE TANGENTE en x=0.

Si una función es continua y creciente, y tiene un punto de inflexión cóncavo-convexo, entonces no es derivable en ese punto. Si la función es continua y decreciente, y tiene un punto de inflexión convexo-cóncavo, entonces tampoco es derivable en ese punto. La derivada es infinita y la tangente es una recta vertical. 


3.Derivadas laterales infinitas. Caso 2

Veamos otra función continua que tampoco es derivable.

Se trata de la función

Fíjate en la escena:

Pon h =0 y recorre la curva arrastrando P con el ratón. Observa la tangente en distintos puntos de la gráfica. Observarás que algo extraño ocurre en las proximidades de a=0

1.- Sitúate en el punto a=0 y elige valores de h cada vez más pequeños como en la escena anterior. Fíjate en la evolución de las TVM y en las rectas secantes.

2.- En a=0 La función NO TIENE DERIVADA PORQUE LAS DERIVADAS LATERALES QUE SON INFINITAS TIENEN ADEMÁS DISTINTO SIGNO. NO EXISTE TANGENTE

3.- En el resto de los puntos sí es derivable y existe la recta tangente.

La función es continua pero no es derivable en x=0 porque las derivadas laterales son infinitas y de distinto signo. No existe la tangente, las secantes evolucionan hacia una recta vertical que pasa por x=0 (eje de ordenadas).

4.La tangente sí atraviesa a la curva y puede cortarla en más de un punto

Veamos un nuevo ejemplo. Se trata de una función que SI tiene TANGENTE y ésta atraviesa la curva.

En la siguiente escena vas a ver reflejada esta situación. Se trata de la función y=x3

Pon h =0 y recorre la curva arrastrando P con el ratón. Observa la tangente en distintos puntos de la gráfica. Puedes ver que en algunos la tangente corta a la curva en más de un punto.
1.- Esta función es continua en todos los puntos. Sitúate en a=0

2.- Fíjate en el valor que toma la TVM para h=1, h=0.1, h=0.01, h=0.001, h=0.0001. Cuánto vale la derivada por la derecha?

3.- Teclea h=-1, h=-0.1, h=-0.01, h=-0.001, h=-0.0001 y observa la evolución de las TVM. Cuánto vale la derivada por la izquierda en x=0?.

4.- Como ves la tangente se va poniendo horizontal.

Esta función sí es derivable en x=0, f(a)=0 , tiene tangente horizontal y atraviesa la curva
 Observa que esta situación se va a repetir siempre que la función sea continua y tenga un punto de inflexión que puede ser convexo-cóncavo si la función es creciente, o cóncavo-convexo si la función es decreciente.

      FIN  
           
  Rosa Jiménez Iraundegui
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001