DERIVADAS. APLICACIONES. OPTIMIZACIÓN
Análisis
 
1. INICIACIÓN AL CÁLCULO DE  DERIVADAS

COGER UN AUTOBÚS EN MARCHA

La línea blanca que ves en la siguiente escena, representa el movimiento de un autobús que arranca de la parada y va, poco a poco, ganando velocidad.
Las líneas turquesa y verde corresponden a pasajeros que llegan tarde y corren para coger el autobús en marcha.
El pasajero turquesa llega a la parada 7 segundos después de que saliera el autobús, y lo alcanza 4 segundos después, 20 metros más allá. Corrió, por tanto, a 20/4=5 m/s. Es decir, a 5*3.6=18km/h

La velocidad del autobús en el instante en que es alcanzado la hallaremos aproximadamente, estudiando su recorrido desde 1s antes, a 1s después:

En el instante 10s está a 17m de la parada    Velocidad media =8m/2s=4m/s=14,4km/h
En el instante 12s está a 25m de la parada   
a) Explica por qué podemos decir que el pasajero turquesa accede suavemente al autobús

b) Describe el movimiento del pasajero verde y halla la velocidad a la que corre

c) ¿Cuál es la velocidad aproximada del autobús en el momento que lo alcanza el pasajero  verde? ¿Entra este pasajero suavemente en el autobús?

 

En la escena puedes cambiar el parámetro tiempo para ver el punto rojo que describe el movimiento del autobús.
A la vez  podrás observar, al pasar el tiempo, el momento en que aparecen los citados pasajeros, y los instantes y lugares donde cada uno de ellos alcanza al autobús, con sendos puntos que aparecerán en su momento.

¿Es preferible esperar o correr tras él?

Los viajeros naranja y azul, en el momento de la salida del autobús estaban a 95m de la parada. El naranja decide esperarlo y entrar en él cuando pase por allí. El azul tiene un extraño comportamiento ¿Extraño?

Describe el movimiento del pasajero azul y explica por qué su comportamiento es mucho más sensato que el del naranja, quien tendrá más difícil la entrada en el autobús.

¡Atención! a la interpretación de la gráfica. El pasajero naranja no se mueve de su posición hasta que el autobús pasa por la misma.

CARRERAS DE RELEVOS

¿Por qué en las carreras de relevos 4x100m cada relevista echa a correr antes de que llegue su compañero?
¿Qué pasaría si esperara quieto la llegada del otro?
¿Es razonable que las gráficas de sus movimientos sean tangentes? ¿Cómo son sus velocidades en el momento de la entrega del "testigo"?

¿QUÉ VAMOS A ESTUDIAR EN ESTA UNIDAD?

Las funciones se pueden estudiar de forma estática (¿cuánto vale esta variable para tal valor de la otra?) y de forma dinámica (¿con qué rapidez se produce la variación?). El estudio de este cambio es el que vamos a realizar.

Empezaremos estudiando la variación relativa. Es lo que, en los problemas que acabamos de resolver, corresponde a la velocidad media.

 
En esta escena puedes mover con el ratón el punto P y observar la variación relativa, o sea el cociente entre la variación de la y, y la variación de la x, cuando pasamos del punto A al punto P.

Busca una posición de P en que esta variación relativa sea igual a uno, y fíjate bien como son la variación de x y la variación de y.

Repite la búsqueda pero cuando la variación relativa es 2 y 
-1.

Escribe en tu cuaderno lo que has observado.

Estudiaremos el crecimiento en un punto. Es lo que, en los ejemplos anteriores, corresponde a las velocidades instantáneas.

La idea de variación instantánea (derivada) será fundamental de ahora en adelante.

 
Mueve el punto P con el ratón para observar las distintas posiciones de la recta tangente en P. Fíjate en cuál es la posición de dicha recta, según que la variación sea positiva o negativa.

Escribe en tu cuaderno lo que has observado.

También aprenderemos técnicas para hallar, con comodidad, crecimientos instantáneos (técnicas de derivación).
  Índice de la unidad   Medida del crecimiento de una función  
       
  Ángela Núñez Castaín
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001
 
 

Licencia de Creative Commons
Los contenidos de esta unidad didáctica están bajo una licencia de Creative Commons si no se indica lo contrario.