DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

Definición e interpretación geométrica


1.- Definición de derivada

La derivada es uno de los conceptos más importante en matemáticas. La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. Pero vayamos por partes.

La definición de derivada es la siguiente:

Podría, pues, no existir tal límite y ser la función no derivable en ese punto. En esta primera práctica vamos a ver qué significa cada uno de los términos que aparecen en la formula anterior.

Propuesta de trabajo.

1.- Comprueba en primer lugar cómo varía la llamada TVM (Tasa de variación media) de la función en un punto. Para ello varía el incremento

2.- Comprueba los valores de las pendientes de las rectas secantes y cómo varían al acercarse a la pendiente de la recta tangente.

3.- Mueve el punto a lo largo de la curva variando el control numérico abscisas.

4.- Intenta encontrar un punto de la curva de tangente horizontal (es decir de pendiente 0) y un punto con recta tangente cuya pendiente sea 1 (Para ello, si es necesario, aumenta la escala).

5.- Comprueba que al variar el punto, pero dejando fija la pendiente, varía la TVM dependiendo del punto.

 


2.- Derivada de la parábola

Repetimos el ejercicio anterior con una parábola

Propuesta de trabajo.

1.- Comprueba en primer lugar cómo varía la llamada TVM (Tasa de variación media) de la función en un punto. Para ello varía el incremento

2.- Comprueba los valores de las pendiente de las recta secantes y cómo varían al acercarse a la pendiente de la recta tangente.

3.- Mueve el punto a lo largo de la curva.

4.- Intenta encontrar un punto de la curva de tangente horizontal (es decir de pendiente 0) y un punto con recta tangente cuya pendiente sea 1 (Para ello, si es necesario, aumenta la escala).

5.- Comprueba que al variar el punto, pero dejando fija la pendiente, varía la TVM dependiendo del punto.

 


3.- Derivada de la parábola

Veamos otro ejemplo con la misma función que el anterior. La escena muestra la recta tangente a la curva en cada punto y vamos comprobando que la pendiente de la recta tangente es la tangente trigonométrica del ángulo que forma la recta con el eje X.

Propuesta de trabajo.

1.- Varía el punto, abscisa, y comprueba cómo varía la recta tangente.

2.- Observa cómo varía la tangente trigonométrica del ángulo que forman la recta tangente y el eje X.

3.- Mueve el punto a lo largo de la curva.

4.- Intenta encontrar un punto de la curva de tangente horizontal (es decir de pendiente 0) y un punto con recta tangente cuya pendiente sea 1 (Para ello, si es necesario, aumenta la escala).

 


4.- Función derivada de la cúbica.

Vamos a construir la función derivada. Esta función es una función que en cada punto vale la pendiente de la recta tangente, es decir, la derivada de la función en cada punto.

Propuesta de trabajo.

1.- Observa el dibujo de la gráfica de la derivada de la función cúbica en cada punto.

2.- Comprueba que los valores de las pendientes de la recta tangente son los valores de la función derivada.

3.- Mueve el punto a lo largo de la curva para ir obteniendo la función derivada.

4.- Observa que los puntos de corte de la derivada son los puntos en donde la tangente es horizontal (posiblemente máximos y mínimos) Intenta encontrar los máximos y los mínimos de la cúbica. Intenta encontrar un punto con recta tangente cuya pendiente sea 0 (Para ello, si es necesario, aumenta la escala).

5.- Intenta encontrar un punto con recta tangente cuya pendiente sea 1 (Para ello , si es necesario, aumenta la escala)

 


5.- Función primera derivada y segunda derivada.

Vamos a construir la función derivada de una función polinómica de grado 4. Esta función será una función de grado 3. Además vamos a dibujar simultáneamente la función derivada segunda.

Propuesta de trabajo.

1.- Observa el dibujo de la gráfica de la derivada y segunda derivada de la función cúbica.

2.- Comprueba que los valores de las pendientes de la recta tangente son los valores de la función derivada.

3.- Mueve el punto a lo largo de la curva para ir obteniendo la función derivada y la segunda derivada.

4.- Observa que los puntos de corte de la derivada son los puntos en donde la tangente es horizontal (posiblemente máximos y mínimos). Observa que los puntos de corte de la segunda derivada son los puntos donde la función cambia de cóncava a convexa (puntos de INFLEXIÓN).

 

Autor: Juan Ávila