Cicloide
A esta curva se le llamó la "Helena de los geómetras" por las continuas disputas que su estudio ocasionó en el siglo XVII.
Definida por Mersenne en 1615, aunque conocida anteriormente, como el lugar geométrico que describe un punto fijo de una circunferencia (rueda) que gira sobre una recta (suelo).
El interés en esta curva está basado en una paradoja de Aristóteles: "¿Por qué dos circunferencias concéntricas, recorren una distancia igual si se les hace girar según una circunferencia y recorren distancias proporcionales cuando se les hace girar separadas?".
Si el radio de la circunferencia es a, las ecuaciones paramétricas de la cicloide se expresan por las igualdades:
Denominada cicloide de Roberval, fue estudiada por Galileo que intento calcular el área encerrada por un arco de curva utilizando para ello procedimientos mecánicos, obteniendo una buena aproximación del resultado que establece que el área encerrada bajo un arco de curva es tres veces el área del circulo que la genera.
Esta curva despertó grandes pasiones entre los matemáticos del siglo XVII, como lo prueba que en su estudio, además de los ya citados, intervinieron Torricelli, Fermat, Descartes, Huygens e, incluso, Pascal, que llegó a proponer un concurso sobre esta curva, planteando una serie de cuestiones sobre propiedades que él ya había descubierto. El concurso se declaró desierto y Pascal publicó sus trabajos.
Para dibujar la cicloide y simular el movimiento de la circunferencia sobre una recta, realizamos los pasos siguientes:
Trazar una semirrecta cuyo origen será un punto A.
Sea P un punto en la semirrecta.
Fijado el radio r, trazar la circunferencia generatriz tangente en el punto P a la semirrecta.
Obtener un punto M en la circunferencia, tal que el arco PM sea igual al segmento AP.
Dibujar el punto N simétrico de M con respecto a la perpendicular a la semirrecta en P.
La cicloide es el lugar geométrico del punto N cuando P recorre la semirrecta.
Indicaremos que el punto N es necesario ya que, el punto M se genera midiendo a la derecha de P, por lo que, si dibujamos el lugar geométrico de M, obtendríamos una cicloide invertida.
La cicloide puede considerarse dentro de una familia de curvas a la que pertenecen la cicloide prolongada generada por un punto de una circunferencia concéntrica con la circunferencia generatriz y la cardioide acortada obtenida cuando el punto pertenece a una circunferencia concéntrica interior con la generatriz.
Autor: Justo Cristóbal Menéndez
