A continuación se verá que cada una de las coordenadas x, y, z de un vector b en la base u, v, w coinciden con:

Y teniendo en cuenta que un determinante de orden tres es el volumen del paralelepípedo que definen sus vectores columna (véase http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/determinantes/inicio.htm), se concluye la regla conocida como regla de Cramer para resolver un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas:

Dado el sistema u₁x+v₁y+w₁z=b₁

                         u₂x+v₂y+w₂z=b₂

                         u₃x+v₃y+w₃z=b₃

Es decir,

La siguiente escena es una demostración geométrica de esta regla