Le tour du prodige

Tu vas écrire sur une feuille deux nombres (de 9 chiffres au maximum), l'un en dessous de l'autre.
Ajoute-les. Ecris la somme obtenue sous les deux premiers nombres.
Recommence avec les deux derniers nombres et place cette somme sous les autres.
Continue ainsi jusqu'à obtenir une liste de 10 nombres écrits les uns en dessous des autres.
Je te propose un exemple en commençant avec les deux nombres 7 et 5.

7    5    12    17    29    46    75    121    196    3 Le tour du prodige : jeu interactif Le secret du calcul Pourquoi ça marche 17

Maintenant si tu me donnes seulement le 4ème nombre en partant de la fin (sur l'exemple c'est 75) je vais te donner immédiatement la somme de tes 10 nombres inscrits.

ALLONS-Y !

Tu peux vérifier la somme obtenue avec une calculette en additionnant les 10 nombres ;-)  

En lisant le paragraphe suivant , tu découvriras le secret du calcul et tu pourras devenir le prodige en faisant le tour à un ami.

 

Le secret du calcul

Propose à un ami d'écrire en cachette deux nombres, l'un en dessous de l'autre. Demande-lui de les ajouter. Il doit placer cette somme en dessous des deux premiers nombres. Il doit continuer ainsi en ajoutant les deux derniers nombres et ainsi de suite jusqu'à obtenir une liste de10 nombres.
Maintenant demande à ton ami de présenter cette liste de 10 nombres.
Alors annonce-lui la somme de ces 10 nombres INSTANTANEMENT !
Voici comment :
Il te suffit de prendre le 4ème nombre en partant de la fin et de le multiplier par 11.

Hum... c'est facile de multiplier un nombre par 11.
Il suffit de le multiplier par 10 puis d'ajouter ton nombre à ce produit.
Ainsi
18 x 11 = 180 + 18
18 x 11 = 198

Exemple

Ton ami a obtenu la suite suivante

7    5    12    17    29    46    75    121    196    317

Alors tu calcules mentalement : 75 x 11 qui est obtenu en calculant

750 + 75 = 825

 

 

 

Pourquoi ça marche 

Regardons le cas général pour bien comprendre ce résultat.
Si l'on part de deux nombres quelconques a et b, nous obtenons :

a b a + b a + 2b 2a+ 3b 3a + 5b 5a + 8b 8a + 13b 13a + 21b 21a + 34b

La somme des 10 nombres est :
55a + 88b
et on a bien
11(5a + 8b) = 55a + 88b

 

(1)
Ce petit jeu utilise le même procédé que celui de la construction d'une suite de Fibonacci,
il a été proposé par R.V. Heath.
La suite de Fibonacci est ainsi obtenue :
1     1     2     3     5     8     13     21     34     55 ...