Representación de las funciones cuadráticas

REPRESENTACIÓN DE LAS

FUNCIONES CUADRÁTICAS

Con esta página se trata de determinar los elementos básicos que permiten representar las funciones cuadráticas. Con las actividades propuestas se pretende que se adquieran las estrategias que permiten identificar como es y donde está la parábola que representa a este tipo de funciones.

Debes reflejar cada actividad en tu cuaderno de trabajo y anotar en él tus conclusiones.

La parábola y sus elementos

Las funciones cuadráticas tienen como representación una parábola. En esta escena puedes comprobarlo e identificar sus principales elementos.

Las funciones cuadráticas son:
f(x)=ax²+bx+c
(Donde a, b y c pueden ser números reales cualesquiera, a¹0)

1.- Cambia los coeficientes a, b y c.
Observa que siempre se obtiene una parábola.

Nota: Para cambiar los valores de los parámetro a, b y c haz clic sobre los pequeños triángulos de colores que hay junto al parámetro. También puedes hacer clic sobre el valor del parámetro, modificar el número con el teclado y a continuación pulsar la tecla INTRO.

Los principales elementos de la parábola son:

Eje de simetría
Vértice
Puntos de corte con el eje de abscisas
Punto de corte con el eje de ordenadas
Ramas o brazos

2.- Identifica los elementos en distintas parábolas cambiando el parámetro e.

Relación entre los elementos de la parábola y los coeficientes de la función cuadrática

Con esta escena se pretende que veas de cómo afecta a cada uno de los elementos de la parábola la variación de cada uno de los coeficientes de la función cuadrática correspondiente. En algunos casos la relación está muy clara, pero en otros es más difícil obtener y se analizará después.

3.- Analiza cómo afectan los coeficientes a, b y c a cada uno de los elementos de la parábola:

Eje de simetría
Vértice
Puntos de corte con el eje de abscisas
Punto de corte con el eje de ordenadas
Ramas o brazos

(Es decir, elige uno elemento con el parámetro e, luego haz variar un sólo coeficiente, por ejemplo a, observa como cambia ese elemento y anota si encuentras alguna relación. Después lo repites con otro coeficiente, ...).

Puntos de corte con el eje de ordenadas

Con las actividades de esta escena se pretende que aprendas a determinar cuál es el punto de corte de la parábola con el eje Y, simplemente mirando los coeficientes.

4.- Cambia el valor de los coeficientes a y b. Observa cómo afecta al punto de corte de las parábolas con el eje Y.

5.- Cambia el valor del coeficiente c y observa las coordenadas del punto de corte de las parábolas que obtienes con el eje Y. ¿Qué relación encuentras?

6.- ¿Habrá alguna parábola que no corte al eje Y? ¿Habrá alguna función cuadrática que no corte al eje Y?

Proposición:
Todas las gráficas de las funciones cuadráticas
f(x)=ax²+bx+c
tienen como representación una parábola que corta al eje Y en el punto:(0,c)

Demostración:
Como f(x)=ax²+bx+c y
el punto de corte con el eje Y se produce cuando x=0
se verifica que:
f(0)=a· 0²+b· 0+c=c
por lo tanto el punto de corte es (0,c)

Puntos de corte con el eje de abscisas

En este caso la relación no es tan sencilla, ahora hay que determinar cuando se hace cero la expresión ax²+bx+c, es decir son las soluciones de la ecuación:

ax²+bx+c = 0

7.- Comprueba que los puntos de corte con el eje X cambian siempre que se modifica algún coeficiente a, b o c.

8.- Aplica la fórmula de de la resolución de la ecuación de segundo grado y calcula los puntos de corte para los siguientes casos:

a=1, b=-5, c=6
a=9, b=-12, c=4
a=3, b=4, c=-2

9.- Analiza cómo son los puntos de corte cuando se cambia de signo el coeficiente b.

10.-Analiza cómo son los puntos de corte cuando se cambian de signo los tres coeficientes a, b y c.

Vértice de la parábola

En esta escena se comprueba que el vértice de una parábola se puede determinar a partir de los coeficientes de la función cuadrática.

11.- Cambia los coeficientes a y b y observa que la abscisa del vértice siempre es -b/2a.

12.-Comprueba que la abscisa del vértice no depende de término independiente c.

13.- Comprueba que para obtener la ordenada del vértice basta calcular el valor de la función para la abscisa encontrada.

14.- Cambia el coeficiente b y observa la curva que describe el vértice. (Para ver la curva haz que el parámetro rastro valga 1 y luego modifica b. Para borrar el rastro pulsa el botón limpiar).

Eje de simetría de la parábola

El eje de simetría de la parábola pasa por el vértice que es el único punto de la parábola simétrico de sí mismo.

15.- Cambia los coeficientes a y b y observa que el eje de simetría es siempre paralelo al eje de ordenadas.

16.- Cambia los coeficientes a y b y observa que el eje de simetría es la recta x = -b/2a.

17.- Comprueba que el eje de simetría no depende del coeficiente c.

Las ramas de la parábola

Las ramas o brazos de la parábola son cada una de las curvas en que divide a la parábola el eje de simetría. No tienen ningún tramo recto y se alejan indefinidamente de ambos ejes.

18.- Cambia el signo del coeficiente a y observa que cuando es positivo las ramas se dirigen hacia arriba y cuando es negativo hacia abajo.

19.- Cambia los coeficientes b y c y observa que el las ramas se dirigen siempre hacia el mismo lado.

20.- Cambia los coeficientes b y c y observa que el las ramas son iguales, ni se acercan entre sí ni se alejan.

21.- Haz cero los coeficientes b y c y cambia el coeficiente a. Comprueba que cuando a se acerca a cero las ramas se separan entre sí y cuando se aleja de cero las ramas se juntan.

Autores: Antonio Freire Huertas y Sandra Fuente García (1º de Bachillerato grupo A)I.E.S. Atenea de Alcalá de Henares (Madrid-España)Experiencia didáctica del Departamento de Matemáticas (junio - 2000)