Monotonía en funciones polinómicas

EL ESTUDIO DE LA MONOTONÍA EN LAS FUNCIONES

Crecimiento - Decrecimiento

En esta práctica se puede obtener la representación gráfica de los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones polinómicas de grados primero a cuarto. Se pretende que se analicen las distintas situaciones que pueden plantearse y su relación con los coeficientes de cada una de las funciones que se estudian.

Debes reflejar cada actividad en tu cuaderno de trabajo y anotar en él tus conclusiones.

Crecimiento y decrecimiento de las funciones polinómicas de primer grado

Las funciones polinómicas de primer grado, tienen como representación una recta, en esta escena podrás comprobar qué relación hay entre los coeficientes y el crecimiento o decrecimiento de la función.

Para cambiar los valores de los parámetros, como a y b, haz clic sobre los pequeños triángulos de colores que hay junto a ellos. También puedes hacer clic sobre el valor del parámetro, modificar el número con el teclado y a continuación pulsar la tecla INTRO.

1.- Observa que la gráfica de la función:
f(x) = ax + b cuando se cambian los coeficientes: a, b (a ¹ 0) puede modificar su inclinación o su posición, pero siempre es una recta que corta al eje de abscisas (si a = 0 es una función constante y la recta es paralela al eje X) .

2.- Comprueba que cambiando el valor x se van recorriendo puntos de la gráfica y se indica el crecimiento en cada punto. (Para suprimir las líneas que quedan marcadas usa el botón limpiar).

3.- Modifica el valor de los parámetros a y b para buscar rectas crecientes y decrecientes. Analiza cómo pueden influir estos coeficientes en el crecimiento de la función.

4.- Escribe tres funciones polinómicas de primer grado que sean creciente, tres decrecientes y tres constantes.

Crecimiento y decrecimiento de las funciones cuadráticas

La representación de las funciones cuadráticas es siempre una parábola con eje de simetría paralelo al eje de ordenadas, que la divide en dos ramas, una creciente y otra decreciente, como se podrá comprobar en la siguiente escena.

5.- Observa que la gráfica de la función cuadrática: f(x) = ax² + bx + c, cuando se cambian los coeficientes: a, b y c (a ¹ 0), puede modificar su aspecto o su posición, pero siempre es una parábola con eje de simetría paralelo al eje de ordenadas.

6.- Comprueba que cambiando el valor x se van recorriendo puntos de la gráfica indicando su crecimiento, decrecimiento, o si es máximo relativo o mínimo relativo.

7.- Modifica el valor de los parámetros a, b y c, para buscar parábolas con máximo y con mínimo y analiza cómo pueden influir los coeficientes en ello.

8.- Busca los intervalos de crecimiento y puntos críticos (máximo o mínimo) de seis funciones cuadráticas, tres de cada tipo.

III Estudio del crecimiento y decrecimiento de las funciones cúbicas

La representación de una función cúbica puede tener aspectos diferentes, como se puede comprobar en esta escena, aunque su aspecto genérico es el que hay en el inicio, donde presenta un máximo y dos mínimos, o viceversa, dos ramas infinitas, una creciente y otro decreciente y dos intervalos determinado por los puntos críticos, en uno decreciente y en el otro creciente.

9.- Observa que la gráfica de la función cuadrática: f(x) = ax³ + bx² + cx + d, cuando se cambian los coeficientes: a, b, c y d (a ¹ 0), puede modificar su aspecto o su posición. pero siempre tiene dos ramas infinitas.

10.- Comprueba que cambiando el valor x se van recorriendo puntos de la gráfica indicando su crecimiento, decrecimiento, o si es máximo relativo o mínimo relativo.

11.- Modifica el valor de los parámetros a, b, c y d, para buscar gráficas sin máximo ni mínimo. Analiza como influye a y c en la gráfica.

12.- Busca los intervalos de crecimiento y puntos críticos (máximo o mínimo) de seis funciones cúbicas de distintos tipos, por ejemplo:
a= 1.00, b= 3.60, c= 2.40 y d= -0.90
a= 3.00, b= 4.00, c= 2.00 y d= -1.00
a= -1.50, b= 4.00, c= 0.00 y d= -2.00

IV Estudio del crecimiento y decrecimiento de una función polinómica de grado 4.

La representación de una función polinómica de grado cuatro también puede tener aspectos diferentes, como se ve en esta escena. Su aspecto genérico, como el del inicio, presenta un máximo, un mínimo dos ramas infinitas, ambas crecientes o ambas decrecientes y un intervalo entre el máximo y el mínimo, donde puede ser decreciente o creciente.

13.- Observa que la gráfica de la función cuadrática: f(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e, cuando se cambian los coeficientes: a, b, c, d y e (a ¹ 0), puede modificar su aspecto o su posición. pero siempre tiene dos ramas infinitas.

14.- Comprueba que cambiando el valor x se van recorriendo puntos de la gráfica indicando su crecimiento, decrecimiento, o si es máximo relativo o mínimo relativo.

15.- Modifica el valor de los parámetros a, b, c, d y e, para buscar gráficas de distinto tipo: sin máximos ni mínimos, con uno solo, etc. Analiza como influye a y c en la gráfica.

16.- Busca los intervalos de crecimiento y puntos críticos (máximo o mínimo) de seis funciones polinómicas de cuarto grado, de distintos tipos.

Autores: David López Bravo y Laura Oliva Muñoz (1º de Bachillerato grupo B)I.E.S. Atenea de Alcalá de Henares (Madrid-España)Experiencia didáctica del Departamento de Matemáticas (junio - 2000)