ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA

En esta página se analiza el procedimiento que permite expresar todos los puntos de una recta mediante una expresión vectorial, es lo que llamaremos ecuación vectorial de la recta.

Debes reflejar cada actividad en tu cuaderno de trabajo y anotar en él tus conclusiones.

DETERMINACIÓN DE UNA RECTA

En la siguiente escena vas a comprobar que una recta queda determinada por un punto P cualquiera de la recta y un vector v que marque su dirección.

1.- Mueve el punto P por la escena.
(Basta que lo arrastres con el ratón).
Observa que en cada lugar que lo coloques hay una recta y que todas ellas tienen la dirección que marca el vector v.

2.- Mueve el origen o el extremo del vector v y observa que la recta sigue su dirección.

3.- Observa que si sólo cambias la posición de v (moviendo el punto central), no cambia su dirección y, por lo tanto, tampoco la recta.

4.- Observa que si sólo cambias el tamaño de v (modificando el parámetro t), no cambia su dirección y por lo tanto tampoco la recta, aunque cambie el sentido del vector.

Nota: Para cambiar el valor de t haz clic sobre los pequeños triángulos de colores que hay a su lado. También puedes hacer clic sobre el valor numérico, modificar el número con el teclado y a continuación pulsar la tecla INTRO.

CONSTRUCCIÓN DE LA RECTA A PARTIR DE UN PUNTO Y UN VECTOR

Ahora vas a comprobar cómo se forma la recta a partir de un punto P y un vector v que marque su dirección.

5.- Mueve el punto P al lugar que quieras. (Arrastra el punto o modifica los parámetros p1 y p2 que son las coordenadas del punto). Observa que el vector v genera otro punto X de la recta.

6.- Una vez fijado P modifica el parámetro t para obtener otros puntos de la recta.
(Si haces r=1 el punto X deja el rastro por donde pasa. Para borrar el rastro usa el botón limpiar).

7.- Dibuja varias rectas cambiando el punto P y el vector de dirección v. Observa, en cada caso, que cada punto X de la recta se consigue multiplicando a v por un número determinado, para cada valor de t hay un punto X.

ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA

En esta escena se definen las condiciones que deben cumplir los puntos X para que sean puntos de la recta. La expresión es una igualdad de vectorial, por eso se denomina ecuación vectorial.

8.- Observa que fijado el punto P y el vector v, cualquier punto X de la recta verifica:

{OX} = {OP} + {PX}

9.- Observa que el vector {PX} es siempre un vector en la dirección de v, por lo tanto, para cada punto X hay un valor de t tal que:

{PX} = t * v

La expresión:
{OX} = {OP} + t.v
se denomina:
ecuación vectorial de la recta
que pasa por P y tiene la dirección de v.

ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA CON COORDENADAS

Esta escena es similar a la anterior, pero ahora se transforman los puntos y los vectores en números, a través de sus coordenadas, obteniéndose una nueva ecuación vectorial.

10.- Modifica el vector v y observa sus coordenadas v1 y v2.

11.- Modifica el punto P(p1,p2) y el vector v(v1,v2) y observa su ecuación vectorial y su expresión en coordenadas.

{OX} = {OP} + t*v
(x,y) = (p1,p2) + t*(v1,v2)

La expresión:
(x,y) = (p1,p2) + t*(v1,v2)
se denomina también:
ecuación vectorial de la recta
que pasa por P(p1,p2) y
tiene la dirección de v(v1,v2).

12.- Comprueba que en todos los casos:

x = p1 + t*v1
y = p2 + t*v2

Autores: Guillermo Gil Laso e Inmaculada Gómez González (1º de Bachillerato grupo A)
I.E.S. Atenea de Alcalá de Henares (Madrid-España)
Experiencia didáctica del Departamento de Matemáticas