Definición de las razones trigonométricas
En esta página se definen las seis razones trigonométricas de un ángulo y se comprueba que para cada ángulo, entre 0º y 360º esos seis números caracterizan a cada ángulo, de forma que no hay dos ángulos entre 0º y 360º que tengan sus seis razones trigonométricas iguales.
| Debes reflejar cada actividad en tu cuaderno de trabajo y anotar en él tus conclusiones. |
Ángulos en el plano cartesiano
Sea un sistema de referencia de cartesiano, como el de esta escena, donde se puede representar cualquier ángulo: situando el vértice del ángulo en el origen de coordenadas, poniendo un lado sobre el semieje OX positivo y dibujando el otro lado a partir del primero, tomando la medida del ángulo, siendo el sentido negativo el del movimiento de las agujas del reloj y positivo el contrario.
Dibujamos una circunferencia de radio r = 5 centrada en el origen de coordenadas, que cortará al segundo lado del ángulo en un punto de coordenadas (x,y).
| Para cambiar los valores del ángulo haz clic sobre los pequeños triángulos de colores que hay a su lado. También puedes hacer clic sobre el valor del ángulo, modificar el número con el teclado y a continuación pulsar la tecla INTRO. | |
| 1.- Observa
los elementos que están representados en la escena. 2.- Comprueba que si cambias
el valor del ángulo los elementos actualizan su valor y
su representación. 3.- Representa dos ángulos en cada uno de los cuadrantes y ángulos cuyos lados estén sobre los ejes. 4.- Representa ángulos mayores de 360º y observa los elementos de la escena. 5.- Representa ángulos negativos y observa los elementos de la escena. |
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Definición de las razones trigonométricas de un ángulo comprendido entre 0º y 360º
En esta escena verás la definición de las razones trigonométricas de un ángulo entre 0º y 360º, que son seis números que se obtienen dividiendo, dos a dos, los elementos que has visto en la escena anterior. Cada una de ellas recibe un nombre que deberás recordar.
| 6.- Observa
que cuando se modifica el ángulo las razones
trigonométricas actualizan su valor. 7.- Haz razón = 1 y observa la definición del seno de un ángulo. Escribe en tu cuaderno la definición a partir de lo que has observado. 8.- Repite la actividad anterior para el resto de las razones trigonométricas: coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. 9.- Haz una tabla con las seis razones trigonométricas de los siguientes ángulos medidos en grados: 0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150, 180, 210, 225, 240, 270, 300, 315, 330. |
Definición de las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera
En esta escena verás la definición de las razones trigonométricas para un ángulo cualquiera.
| 10.- Observa
la definición del seno para el ángulo de 360º y para
valores mayores. ¿Hay algún otro ángulo que tenga las
mismas razones trigonométricas que 360º? 11.- Busca tres ángulos positivos que tengan las mismas razones trigonométricas que 45º. 12.- Observa la definición del seno para ángulos negativos. ¿Hay algún otro ángulo que tenga las mismas razones trigonométricas que -30º? 13.- Busca tres ángulos negativos que tengan las mismas razones trigonométricas que 120º. |
Comprobación de la definición de las razones trigonométricas
En esta escena podrás comprobar que las definiciones de la escena anterior son correctas. Podría pensarse que al haber tomado el radio de la circunferencia r =5, podría afectar al valor de las razones que dependen de él, verás ahora que el valor de las razones definidas no depende del radio que se tome y que por lo tanto la definición está bien hecha.
| 14.- Observa
que cuando se modifica el radio de la circunferencia
cambian los tres elementos r, x e y, pero no cambian las
razones trigonométricas. 15.- Recuerda el teorema de Tales y explica en tu cuaderno por qué da igual tomar cualquier radio para calcular las razones trigonométricas de un ángulo. |
Las razones trigonométricas en la circunferencia goniométrica
En esta escena se usa una circunferencia con centro en el origen de coordenadas, que tiene radio r = 1, a esta circunferencia se la denomina goniométrica.
| 16.- Observa
que el seno de un ángulo coincide con la longitud de la ordenada del punto de corte del
segundo lado del ángulo con la circunferencia
goniométrica. 17.- Observa que el seno de un ángulo coincide con la longitud de la abscisa del punto de corte del segundo lado del ángulo con la circunferencia goniométrica. 18.- Define las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera a partir de la circunferencia goniométrica. |
Autores:
Celia López Garzón y Manuel Rial Romera (1º de Bachillerato
grupo B)
I.E.S.
Atenea de Alcalá de Henares (Madrid-España)
Experiencia
didáctica del Departamento de Matemáticas (junio - 2000)