Las funciones exponencial y logaritmo

La función exponencial

y=exp(x)

es muy importante en las matemáticas. También lo es la función logaritmo natural

y=log(x)

En esta lección se explica cómo se definen estas funciones, se estudian sus propiedades y se muestra la cercana relación que existe entre ellas.

La función exponencial.

Para comenzar, consideremos la función 2^x. El alumno seguramente está familiarizado con los valores de esta función (2, 4, 8, 16, 32, 64, ...) para valores enteros de x. Evidentemente se trata de una función que crece mucho al aumentar el valor de x. Para valores enteros negativos de x, los valores de la función también son muy conocidos (1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ...). Pero ¿qué significa 2^x cuando x no es un entero? La definiciín general se hace para números racionales m/n con m y n enteros, y luego se extiende por continuidad a todos los números reales. 2^(m/n) se define como la raiz n-ésima de 2^m. Esta definición hace de 2^x una función muy difícil de evaluar para valores de x que no sean enteros o fracciones muy sencillas. El siguiente applet muestra la gráfica de esta función y el alumno puede explorar sus valores modificando el valor de x. En el mismo applet puede estudiar las funciones exponenciales a^x para diferentes valores de a.

La derivada de las funciones exponenciales se puede calcular como el límite cuando h tiende a cero de

(a^(x+h)-a^x)/h

que es igual a a^x multiplicado por el límite cuando h tiende a cero de

(a^h-1)/h

Este aparentemente sencillo límite es difícil de calcular. El siguiente applet nos permite estimar su valor basándonos en los valores h=1/n para n grande. La gráfica que aparece es la de la función (a^x-1)/x.

Se sugiere al alumno buscar el número a para el cual el límite es iguala 1.0. Dicho número es el famoso número e que encontraremos muchas veces en esta lección.

El siguiente applet muestra la función a^x para diversos valores de a y también una aproximación de su derivada (se está usando h=0.000001). El alumno puede comprobar que cuando a=2.72818 la función a^x y su derivada parecen coincidir.

En realidad existe un número, el famoso número e, para el cual la función e^x es igual a su derivada. La función exponencial se define usando este número como exp(x)=e^x. El valor de e se ha calculado con muchos decimales. Esta es el valor de e hasta el vigésimo tercer decimal:

e=2.71828182845904523532874

En la mayoría de los cálculos se utilizan solo los primeros cinco decimales, o sea que se usa

e=2.71828

Veamos una manera intuitiva de calcular e basada en que la derivada de e^x debe ser igual a e^x. Para que el límite cuando h tiende a cero de (e^(x+h)-e^x)/h sea igual a e^x, es necesario y suficiente que el límite cuando h tiende a cero de (e^h-1)/h sea igual a 1. Intuitivamente se ve entonces que para valores pequeños de h, e es más o menos igual a (1+h)^(1/h). Cambiando h por 1/n con n entero, tenemos que para valores grandes de n e es más o menos igual a (1+1/n)^n. En otras palabras, e es igual al límite cuando n tiende a infinito de (1+1/n)^n. El siguiente applet permite obtener buenas estimaciones del número e como el límite de (1+1/n)^n cuando n tiende a infinito.

En el estudio de la función logaritmo veremos otra manera de llegar al número e.

La función logaritmo.

La función logaritmo se puede definir como la función inversa de la exponencial. Es decir: log(x)=y si x=exp(y). El siguiente applet muestra las gráficas de las funciones exponencial y logaritmo y muestra la relación que hay entre ambas.

La gráfica del logaritmo es la reflexión de la gráfica de la exponencial con respecto a la recta y=x

Se puede definir una función logaritmo para cada función exponencial a^x. Para distinguir unas de otras, la función inversa de a^x se llama la función logaritmo base a. A la función logaritmo base e también se le llama logaritmo natural. El siguiente applet muestra todas las funciones exponenciales a^x y las correspondientes funciones logaritmo base a que denotamos por loga(x).

Es fácil ver que loga(x)=log(x)/log(a). En efecto, a=e^(log(a)) y por lo tanto, usando las propiedades de la exponenciación:

a^(log(x)/log(a))=e^(log(a)*(log(x)/log(a))=e^log(x)=x.

En el siguiente ejemplo se ilustra el hecho por el cual los logaritmos tuvieron gran importancia en el pasado para simplificar los cálculos numéricos. La razón es que mediante los logaritmos se puede convertir una multiplicación en una simple suma. El applet muestra dos valores x1 y x2, sus correspondientes logaritmos y1 y y2, y también el producto x1*x2 y la suma y1+y2. El alumno observará que x1*x2 = y1+y2 siempre.

Por este motivo en los tiempos anteriores a los ordenadores se construían tablas de logaritmos. Si se querían multiplicar los números x1 y x2, se buscaban en la tabla sus logaritmos y1 y y2, se sumaban obteniendo un valor y y se buscaba en la tabla el valor de x para el cual log(x)=y. Entonces x es igual al producto x1*x2. Hoy en día este método resulta innecesario, solo tiene importancia histórica. Sin embargo la función exponencial sigue siendo muy importante en la ciencia por otras razones que están más relacionadas con la primera propiedad que estudiamos de ella, la de ser igual a su derivada. Este hecho hace que la función exponencial aparezca continuamente en la descripción de fenómenos físicos como por ejemplo, el decaimiento radiactivo.

El siguiente ejemplo muestra el comportamiento de un material radiactivo con el paso del tiempo.

Finalmente, estudiaremos la función logaritmo independientemente de la exponencial. Supongamos que existe una función f(x) que tiene la propiedad de que

f(x*y)=f(x)+f(y)

para todos los valores positivos de x e y. Es fácil ver que esta sola propiedad implica que:

f(1)=0 y f(x^n)=n*f(x)

Por lo tanto, escribiendo la expresión para estimar la derivada con un incremento h=x/n, obtenemos:

(f(x+x/n)-f(x))/(x/n)=(1/x)f((1+1/n)^n)

Tomando el límite cuando n tiende a infinito, obtenemos que la derivada de f´(x) es igual a f(e)/x donde

e=lim (1+1/n)^n
n->infinito

En resumen:

f´(x)=f(e)/x

Este resultado nos dice que las funciones que satisfacen f(x*y)=f(x)+f(x) tienen todas la misma derivada, excepto por un factor multiplicativo. Es natural entonces definir la función logaritmo como la integral (de 1 a x) de la función 1/x y entonces resulta que

log´(x)=1/x

y por lo tanto

log(e)=1

Por eso se dice que e es la base de los logaritmos naturales, también llamados Neperianos. El último applet nos muestra las gráficas de las funciones log(x) y 1/x y el alumno puede comprobar que la estimación de la derivada (log(x+h)-log(x))/h es casi igual a 1/x para el valor de h=0.000001

Autor: José Luis Abreu León

	Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000