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La Hipérbola

PRÁCTICA PRIMERA:

Probar que el área del triángulo limitado por una tangente cualquiera a la hipérbola x·y=8 con los ejes coordenados es constante.

La siguiente escena nos permite comprobarlo. Para ello asigna distintos valores al parámetro x0 (abscisa de los puntos de la hipérbola) y observa que los lados del triángulo varían pero el área permanece constante.

Ejercicios:

1) Resuelve el problema analíticamente. Para ello calcula la ecuación de la tangente a la hipérbola en uno cualquiera de sus puntos (x0,8/x0) y su intersección con los ejes. Deberás comprobar que el área obtenida es independiente del punto de tangencia elegido y que toma el valor indicado en la escena.

2) Demuestra que las tangentes trazadas a la hipérbola x·y=8 por dos puntos cualesquiera de ella que sean simétricos respecto al origen de coordenadas son paralelas. Basta con que analices la expresión de la pendiente de la tangente obtenida anteriormente y la apliques a dos puntos simétricos. Comprueba en la escena que la tangente forma el mismo ángulo con el eje OX en puntos de abscisas opuestas.

PRÁCTICA SEGUNDA

Dada una circunferencia de centro F´y un punto F exterior a ella, hallar el lugar geométrico de los puntos P del plano que equidistan del punto F y de la circunferencia (*).

La presente escena nos facilita la visualización del lugar geométrico que buscamos. Para ello pulsa con el ratón sobre la flecha incrementadora del ángulo t (expresado en radianes) hasta dar una vuelta completa. Simultáneamente has de observar en los textos que PM es igual a PF y por lo tanto P verifica las condiciones del lugar e identificarás éste observando los valores de las expresiones que constituyen la definición bifocal de las cónicas con centro, es decir, PF+PF´=cte. y |PF-PF´|=cte. Cada vez que cambies los valores de los parámetros de la escena debes de actualizarla haciendo clic sobre el botón LIMPIAR.

Ejercicios:

1) Resuelve analíticamente el problema siendo los datos los valores iniciales de la escena, es decir, r=5, F´(-2.50,0) y F(3.50,0) y teniendo en cuenta que la distancia de un punto a una circunferencia es, si el punto es exterior, la diferencia entre la distancia del punto al centro y el radio. Comprueba que la ecuación cartesiana obtenida se corresponde con los datos de la cónica de la escena.

2) Escribe los valores r=5, a=0 y Fx=6, pulsa el botón limpiar e incrementa t para que dé una vuelta completa. Escribe la ecuación de la cónica resultante y calcula su excentricidad.

3) Pulsa el botón inicio, escribe con el teclado el valor 2.50 en la casilla de Fx, haz clic en el botón limpiar y observa el resultado.

4) Pulsa el botón inicio, escribe con el teclado el valor 1.50 en la casilla de Fx, haz clic en el botón limpiar y observa el resultado.

(*) Si entendemos por distancia de un punto a una circunferencia la distancia mínima obtenemos sólo una rama de la hipérbola. Para obtener las dos ramas deberíamos de reformular la cuestión y decir, por ejemplo:
Dada una circunferencia de centro F´ y un punto F exterior a ella, hallar el lugar geométrico de los puntos P del plano cuya mínima o máxima distancia a la circunferencia coincide con su distancia al punto F.
No obstante lo anterior, en lo que se refiere a esta práctica y a efectos de no complicar innecesariamente los ejercicios, no hay ningún problema en entender la distancia tal y como se hace en el apartado 1).

PRÁCTICA TERCERA

Consideremos la hipérbola centrada en el origen de coordenadas que tiene excentricidad e (e>1) y cuyo semieje mayor es a. Demostrar que el lugar geométrico de los puntos del plano cuya razón de distancias al punto F(a·e,0) y a la recta x=a/e es igual a e coincide con dicha hipérbola.

La escena que sigue nos permite comprobar la afirmación anterior. Para ello arrastra el punto de control P con el ratón y observa los valores que toman los textos: PF/PR vale e y |PF-PF´|=cte. Cada vez que cambies los valores de los parámetros a o e de la escena debes de actualizarla haciendo clic sobre el botón LIMPIAR.

Ejercicios:

1) Demostrar analíticamente la proposición del enunciado tomando como datos los valores iniciales de la escena (a=5 ; e=1.25). Halla directamente la ecuación cartesiana de la hipérbola de la escena para los citados valores y comprueba que coincide con la ecuación del lugar geométrico que has hallado.

2) Da a a el valor 5 y a e el valor 0.8, haz clic en el botón limpiar y arrastra el punto P hasta dar una vuelta completa. ¿Qué observas?.

3) Haz clic en el botón inicio, pon e=1, pulsa con el ratón sobre el botón inicio y arrastra el punto de control P. ¿Dónde se situó F?.¿Cuál es el lugar geométrico obtenido?.

PRÁCTICA CUARTA

Dados dos puntos del plano P(px,py) y Q(qx,qy) consideremos, si existe, la hipérbola (centrada en el origen y con eje real el eje de abscisas) que pasa por ellos.
a) Hallar su ecuación.
b) Hallar el semieje real, el semieje imaginario y la excentricidad.
c) Escribir las ecuaciones de las asíntotas y representarlas gráficamente.
d) Representarla gráficamente.

La siguiente escena nos sitúa en el contexto adecuado. Para ello basta introducir las coordenadas de los puntos P y Q y hacer clic sobre el botón LIMPIAR y observar las representaciones gráficas y los textos que aparecen. Cada vez que cambies alguna coordenada de P o Q has de actualizar la escena haciendo clic sobre dicho botón.

Ejercicios:

1) Resuelve analíticamente la práctica anterior utilizando los puntos P (8 , 3Ö3) y Q(12 , 6Ö2) y comprueba que el resultado coincide con el de la escena inicial cuyos valores son las expresiones decimales de sus coordenadas.

2) Introduce los puntos P(-8,-2) y Q(5,7), haz clic sobre el botón limpiar y observa lo que pasa. Elige un par de puntos del segundo cuadrante con coordenadas enteras para los que no exista hipérbola que los contenga.

Autor: Javier de la Escosura Caballero


	Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001