MOVIMIENTOS EN EL PLANO
Movimientos Traslaciones Giros Simetrías
Simetría central
En el dibujo, la figura superior (figura 1) se transforma en la figura inferior (figura 2). Se han señalado algunos puntos en la figura superior, figura 1, (A, B, C, D) y los correspondientes en la figura inferior, figura 2, (A', B', C', D'), transformada de la figura 1, mediante una simetría central.
Si te fijas puedes obervar que los puntos A', B', C' y D' se obtienen a partir de los A, B, C y D trazando las rectas OA, OB, OC y OD, O es el centro de simetría, y llevando estas distancias, a partir de O, sobre las semirrectas correspondientes. A este movimiento se le llama simetría de centro O.
En la escena siguiente están representados varios puntos y los transformados mediante una simetría central de centro O (0, 0). Comprueba como cambian las posiciones de los puntos simétricos al variar el centro de simetría (parámetros Xo e Yo).
1.- ¿Cuál sería el transformado en esta simetría del centro de simetría C (0,0)? ¿Y la figura transformada de una circunferencia de centro el origen de coordenadas?.
2.- Observa la escena y anota las coordenadas de los puntos simétricos de A (-6, 2), B (-3, -2), C (2, 4), D (4, -3); A', B', C' y D'. ¿Cuáles serían las coordenadas del simétrico del punto P (x, y) ?.
3.- Traslada el centro de simetría al punto
(-2, 0). Anota las coordenadas de los simétricos
de los puntos A, B, C y
D anteriores?. Escribe las coordenadas del simétrico
del punto P
(x, y).
Tomando como centro de simetría el punto (0, 1). Calcula las coordenadas de los
simétricos de los puntos A, B, C y
D anteriores?. Escribe las coordenadas del simétrico
del punto P
(x, y).
4.- Traslada ahora el centro de simetría al punto (2, -1). Calcula de nuevo las coordenadas de los
simétricos de los puntos A, B, C y
D anteriores?. Escribe las coordenadas del simétrico
del punto P
(x, y).
Si el centro de simetría es el punto C (a, b), ¿cuáles serían las coordenadas del
simétrico del punto P
(x, y)?
Simétrico de un segmento
Para obtener el simétrico de un segmento es suficiente calcular los puntos simétricos de los extremos y unirlos. En la escena siguiente se representa el segmento AB y el simétrico A'B' mediante la simetría de centro el origen de coordenadas O (0, 0). Puedes cambiar el centro de simetría (parámetros Xo e Yo) y las coordenadas del extremo B (parámetros Xb e Yb).
5.- Comprueba que las longitudes de un
segmento AB y de su simétrico A'B' se mantienen iguales (Utiliza los parámetros Xb
e Yb para cambiar el extremo del
segmento).
¿Qué ocurre con el segmento A'B' cuando el punto B coincide con el centro de simetría? ¿Cuál es, en
este caso, el simétrico del punto B?.
6.- Cambia la posición del punto B y anota las coordenadas de los extremos del segmento. Si el punto A (x1, y1) y B (x2, y2), ¿cuáles son las coordenadas de los simétricos A' y B'.
7.- En los enunciados siguientes, elige la
respuesta adecuada:
El transformado de un segmento en una
simetría central es otro segmento de: a) la misma longitud,
b) mayor longitud que el inicial, c) de longitud menor que el
inicial
(puedes
utilizar los parámetros Xb e Yb
para construir segmentos horizontales y verticales que te pueden
ayudar en la resolución de esta cuestión).
Un segmento y su simétrico son a) paralelos,
b) coincidentes, c) se cortan.
8.- ¿Cuál sería la figura transformada, mediante una simetría de centro O (-5, -2) de una circunferencia de centro el punto O?.
Simétrica de una recta
Para obtener la recta transformada mediante una simetría de centro O, hay que calcular los simétricos de cada uno de los puntos de la recta r. En la práctica, puesto que una recta queda determinada por dos de sus puntos, es suficiente aplicar la simetría a dos puntos de la recta y unirlos. De esta forma se obtiene la recta simétrica r'.
En la escena siguiente se representan una recta r y su transformada r' mediante una simetría de centro el punto C (2, 1). Puedes cambiar el ángulo de giro (parámetros Xo e Yo), la ordenada del punto B (parámetro Yb) y la inclinación de la recta r (parámetro m).
9.- Comprueba que al desplazar el punto B (utiliza
el parámetro Yb), la recta r cambia de posición. Cambia la
inclinación de la recta r (parámetro m). Observa los
cambios en la recta simétrica.
Una recta y su simétrica son a) paralelas,
b) coincidentes, c) secantes.
10.- ¿Qué ocurre cuando el punto B coincide con el centro de simetría?.
11.- Ajusta la inclinación a 0.
¿Cuál es ahora la recta r? ¿Y la simétrica?.
Pulsa el botón inicio y
calcula las ecuaciones de las rectas r y r' para los valores que se muestran. ¿Qué relación
existe entre las pendientes?.
Simétrico de un ángulo
Para hallar el simétrico de un ángulo hay que calcular el simétrico de cada uno de los dos lados que lo forman. El vértice vendrá determinado por la intersección de los dos lados.
En la escena siguiente se representan un ángulo a y el ángulo transformado a' mediante una simetría de centro el punto C (-3, 0). Puedes cambiar las coordenadas del centro (parámetros Xo e Yo), la posición del punto B (parámetro ordenada) y la amplitud del ángulo a (mediante el parámetro m).
12.- Los lados del ángulo simétrico a', son, con respecto a los lados del ángulo a: a) Paralelos, b) Perpendiculares,
c) Coincidentes.
En consecuencia los ángulos a y a',
son: a) iguales, b) a > a',
c) a < a'.
13.- ¿Qué ocurre si el vértice del ángulo, B, coincide con el centro de giro? ¿Se siguen manteniendo las respuestas dadas en el apartado 12?.
14.- Los elementos que no varían al aplicarles una simetría se denominan invariantes o dobles en la simetría.
En los enunciados siguientes, elige la respuesta
adecuada:
La simétrica de una recta es otra recta:
a) paralela, b) coincidente, c) secante.
Los elementos dobles en una simetría
central son: a) las rectas que pasan por el origen, b) Los
segmentos paralelos al eje de abscisas, c) el centro de
simetría.
15.- Hasta ahora hemos visto que la simetría central conserva las distancias y los ángulos.
En los enunciados siguientes, elige la respuesta
adecuada:
La figura simétrica de un cuadrado es un
cuadrado: a) del mismo lado, b) de lado mitad, c) de lado
doble.
La figura simétrica de un rectángulo,
es: a) un cuadrado, b) un rombo, c) un rectángulo pero con lados
de longitud distinta del original, d) un rectángulo con las
mismas medidas de los lados.
16.- Entre los giros de centro el punto C (x, y) existe uno que produce la misma transformación que la simetría de centro C (x, y), investiga cuál debe ser el valor del ángulo de giro para que coincidan las dos transformaciones.
Movimientos Traslaciones Giros Simetrías
Autor: Belarmino Corte Ramos