Progresiones geométricas


Progresiones geométricas

Se denomina progresión geométrica a aquella sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando por una misma cantidad al término anterior.
Por lo tanto el cociente entre dos términos consecutivos es constante y se llama
razón de la progresión.

1.- En esta escena puedes construir progresiones geométricas, basta que indiques el primer término y la razón. Crea seis progresiones y escribe en tu cuaderno los diez primeros términos de cada una, y los término de lugar 25, 100 y 200.
(Procura que el primer término sea distinto, en cada ejemplo, y que la razón en unos casos sea positiva mayor que 1, en otros casos positiva menor que 1 y en otros negativa).
Elige una de las progresiones que has construido e intenta obtener su término general.
¿Sabrias aplicar el resultado obtenido a las otras cuatro?

Término general de las progresiones geométricas

Todas las progresiones geométricas tienen término general.

2.- Analiza la sucesión de la escena con los siguientes pasos:
En el paso_1 observa que cada término es igual al anterior por la razón.
(Cambia los valores de n)
En el paso_2 observa que todos los términos se pueden expresar dependiendo del primero. (Cambia los valores de n)
Observa la relación que hay entre la posición de cada término y él número a que se eleva la razón. Busca el término general de la sucesión del ejemplo.
Prueba con distintas sucesiones y busca la fórmula general para cualquier sucesión. La solución la tienes en el paso_3.

Suma de n términos de una progresión geométrica

3.- Supongamos que queremos sumar los diez primeros términos:
Si se multiplican los terminos de la sucesión por la razón se obtienen casi los mismos sumandos.
Aumentando el paso_1 (
1, 2, ...) se observa que casi todos los términos de ambas sucesiones son iguales.
Prueba con otro número de términos y comprueba que se sigue verificando.
Si se restan ambas sumas se pueden eliminar los términos idénticos, como se ve en el paso_2 (1, 2, ...).
En el paso_3 puedes ver la fórmula general.

Suma de todos los términos de una progresión geométrica cuando el valor absoluto de su razón es un número comprendido entre 0 y 1

Si la razón es un número positivo menor 1 se pueden sumar los infinitos términos de la progresión.

4.- Observa la suma de los cinco primeros términos.
Aumenta el número de sumandos y observa que la suma que se obtiene se va acercando a un número.
Prueba con otras progresiones, cambiando el primer término o la razón.
Busca la expresión que permite obtener la suma de todos los términos basándote en la formula del apartado anterior y teniendo en cuenta que el último término puede considerarse nulo.
En el paso_1 puedes ver la fórmula general.

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Autor: Juan Madrigal Muga

 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000