APLICACIONES
DE LA DERIVADA
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PROBLEMAS
DE OPTIMIZACIÓN
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Ejemplos
Problemas de optimización
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En numerosas ocasiones nos
interesa conocer sólo el máximo o el mínimo de una función. Estos
problemas a menudo requieren un planteamiento previo que, resumiendo, es
el siguiente:
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Determinar la
función de la que se quiere obtener el máximo o el mínimo.
Es
fácil que ésta dependa de más de una variable.
Si
hay más de una variable, buscar la relación entre ellas para que
la función sólo dependa de una incógnita.
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Calcular el
máximo o el mínimo pedido, imponiendo las condiciones necesarias
en sus derivadas.
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Criticar la
solución obtenida
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Veamos unos ejemplos:
Una empresa ha decidido
mejorar su seguridad instalando 9 alarmas. Un especialista en el tema señala que dada la estructura de la empresa sólo
puede optar por dos tipos de alarmas, de tipo A o de tipo B; además, afirma que
la seguridad de la empresa se puede expresar como la décima parte del producto entre el número
de alarmas de tipo A instaladas y el cuadrado del número de alarmas instaladas
de tipo B.
¿Cuántas alarmas de cada tipo se deben instalar en la empresa para maximizar
su seguridad?.
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a. Determinar la
función
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Llamemos x a las
alarmas de tipo B instaladas, con lo que las alarmas de tipo A
serán (9-x)
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La seguridad de la empresa
viene expresada por la función f(x)=(9-x)x2/10=(9x2-x3)/10
b.
Calcular
el máximo
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Calculamos
f'(x)=(18x-3x2)/10
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Resolvemos
la ecuación: f'(x)=0.
Soluciones:
x=0, x=6
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Calculamos f''(x)=(18-6x)/10 y su signo en estos valores.
El máximo se obtiene en x=6
c.
Criticar
las soluciones
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A un lado de un río de 1 km de
anchura hay una central eléctrica y al otro lado, 8 km corriente arriba, una
factoría. Tender un cable por tierra cuesta 3 pts/metro y bajo el agua 5 pts/metro.
¿Cuál es el tendido más económico desde la central a la factoría?.
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a. Determinar la
función
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Observa
la escena, sea
P el punto en que el cable comienza a estar bajo el agua y 8-x
la distancia entre el punto P y la
central C, la distancia entre P y la factoría F será
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Precio del
tendido: miles
de ptas
b.
Calcular
el mínimo
-
Calculamos
-
Resolvemos
la ecuación: f'(x)=0.
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Calculamos f''(x) y su signo en
éste valor comprobando que efectivamente hay mínimo en x=0,75
c.
Criticar
las soluciones
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El
tendido más económico se obtiene haciendo que el cable cruce el
río a 7,25 km de la central, o por simetría, de la
factoría, siendo el coste mínimo 28000 ptas.
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EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1.
La suma de un número y el doble de otro es 7,5. Calcula dichos números para
que:
a)
La suma de sus cuadrados sea mínima
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Llamemos
x a uno de los números el otro será (7,5-2x)
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La
función a minimizar será f(x)=x2+(7,5-2x)2
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Calcula
f'(x) y resuelve
la ecuación: f'(x)=0
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Calcula
f''(x) y su signo en estos valores
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b)
La diferencia de sus cuadrados sea máxima.
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2.
Considera un rectángulo de perímetro p y área a,
a)
Si el perímetro es 8, calcula sus dimensiones para que el área sea
máxima
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Observa
las incógnitas en la escena y escribe la función a maximizar y=f(x)
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Calcula
f'(x) y resuelve
la ecuación: f'(x)=0
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Calcula
f''(x) y su signo en estos valores
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Para
comprobar el resultado introduce el valor de
f'(x) y
de f''(x)
en la escena
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¿En qué puntos corta
f'(x) al eje
OX?. ¿Cómo
es f''(x)
en este punto?
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Si cambias el valor
de x se dibujará
y=f(x) y podrás observar su
comportamiento.
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b)
Si el área es 4, calcula las dimensiones del que tiene perímetro mínimo
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¿Cuál
es ahora la función a maximizar y=f(x)?
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Calcula
f'(x) y resuelve
la ecuación: f'(x)=0
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Calcula
f''(x) y su signo en estos valores
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Para
comprobar el resultado introduce el valor de
f'(x) y
de f''(x)
en la escena
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¿En qué puntos corta
f'(x) al eje
OX?. ¿Las dos soluciones son válidas en este caso?. ¿Cómo
es f''(x)
en estos puntos?
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Si cambias el valor
de x se dibujará
y=f(x) y
observarás su
comportamiento.
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3.
El coste total de producir x unidades de un determinado
producto es C(x)=9-2x+x3/6
y cada unidad se
vende a (12-3x) unidades monetarias,
a)
Calcula cuántas unidades se deben producir para que el coste medio por
unidad sea
mínimo.
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Escribe
la función a minimizar, f(x)=C(x)/x
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Calcula
f'(x) y resuelve
la ecuación: f'(x)=0
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Calcula
f''(x) para los valores
obtenidos
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Para
comprobar el resultado introduce el valor de f'(x) y
de f''(x)
en la escena.
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¿En qué puntos corta f'(x) al eje OX?.
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¿Cómo
es f''(x)
en estos puntos?
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b)
Calcula cuántas unidades se deben
vender para que el beneficio sea máximo
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Escribe
la función y=g(x)
beneficio=ingresos-costes
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Calcula
g'(x) y resuelve
la ecuación: g'(x)=0
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Calcula
g''(x) y su signo en estos valores
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Para
comprobar el resultado introduce el valor de g'(x)
y
de g''(x)
en la escena
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¿En qué puntos corta
g'(x) al eje
OX?. ¿Las dos soluciones son válidas en este caso?. ¿Cómo
es g''(x)
en estos puntos?
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Si cambias el valor
de x se dibujará
y=g(x) y verás su
comportamiento.
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María José García Cebrian