APLICACIONES DE LA DERIVADA

CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD

 

Concavidad y convexidad. 
Puntos de inflexión

Cálculo de los intervalos de concavidad y convexidad y de los puntos de inflexión

Ejercicios de aplicación

Diremos que una función es CÓNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva.

Análogamente, diremos que es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva.

         

Los puntos en los que la curvatura pasa de cóncava a convexa o viceversa se llaman PUNTOS DE INFLEXIÓN.

 

Concavidad y convexidad

Sea f una función derivable,

Una función y=f(x) es CÓNCAVA en un intervalo cuando las tangentes a la curva en los puntos de dicho intervalo quedan por encima de la curva.

  • Observa en la escena como al aumentar el valor de x la derivada de la función disminuye.

  • ¿Cuál es el signo de la derivada segunda en este tramo?

Diremos que una función y=f(x) es CÓNCAVA en x0 si lo es en un entorno de dicho punto

Si f''(xo) < 0 entonces f es cóncava en xo

Análogamente y=f(x) será CONVEXA en un intervalo cuando las tangentes a la curva en los puntos de dicho intervalo quedan por debajo de la curva.

  • Comprueba en la escena como varía la derivada de la función al cambiar el valor de x

  • ¿Cómo es en este caso el signo de la derivada segunda?

Diremos que una función y=f(x) es CONVEXA en x0 si lo es en un entorno de dicho punto

Si f''(xo)> 0 entonces f es convexa en xo

 

 

Observa ahora la escena donde están representadas una función y=f(x) y su derivada segunda y=f''(x)

  • Comprueba, cambiando el valor de x en la escena, que f es cóncava si x<0 y convexa si x>0.

  • ¿Qué ocurre en x=0?.

La curva cambia su concavidad en x=0,
tiene un PUNTO de INFLEXIÓN

  • ¿Cómo es f''(0)?

  • Observa que la tangente a la curva en x=0 atraviesa a la curva

Si f''(xo) = 0 y f cambia su concavidad en xo entonces f tiene un punto de inflexión en xo

 

Cálculo de los intervalos de concavidad-convexidad y puntos de inflexión

En la escena están representadas la función
f(x)=4xe-x, y su derivada segunda
f''(x)=(4x-8)e-x

Para calcular los intervalos de concavidad y convexidad procederemos:

  • Resolvemos la ecuación: f''(x)=(4x-8)e-x=0

  • Soluciones: x=2

  • Calculamos el signo de la segunda derivada antes y después de este valor.

    • Comprueba, cambiando el valor de la x que los resultados son:

x<2, f''(x)<0  cóncava en el intervalo (-¥,2)

x=2, f''(x)=0  punto de inflexión en (2,1.08)

x>2, f''(x)>0  convexa en el intervalo (2,+¥)

 

Ahora la escena muestra la función y=x/(x2-1) y su derivada segunda y=f''(x)

  • Calcula la derivada: f''(x), resuelve la ecuación: f''(x)=0 y comprueba que la solución es:  x=0

  • Calcula el signo de f''(x) antes y después del 0

  • ¿Qué ocurre antes y después de x=-1 y de x=1?

  • Observa que no pertenecen al dominio de la función luego no son puntos de inflexión, aunque cambie la concavidad.

x<-1, f''(x)<0   cóncava en el intervalo (-¥,-1)

-1<x<0, f''(x)>0  convexa en el intervalo (-1,0)

x=0 f''(0)=0 punto de inflexión en (0,0)

0<x<1, f''(x)<0   cóncava en el intervalo (0,1)

x>1 f''(x)>0  convexa en el intervalo (1,+¥)

 

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1) Calcula los intervalos de concavidad y convexidad de la función f(x)=ln(x2+1)

  • Calcula f''(x) y resuelve la ecuación: f''(x)=0

  • Calcula el signo de f''(x) antes y después de estos valores

  • Para comprobar el resultado introduce el valor de f''(x) en la escena (recuerda que debes escribir todos los signos y emplear ^ para las potencias).

  • ¿En qué puntos corta f''(x) al eje OX?.

  • ¿Qué signo tiene f''(x) antes y después de estos puntos?

  • Si cambias el valor de x se dibujará
    y=f(x) y verás su comportamiento.

 

2) Calcula los intervalos de concavidad y convexidad, y los puntos de inflexión de la función f(x)=x-1/x

  • Calcula f''(x) y comprueba que f''(x)=0 no tiene solución, pero su signo varía según sea x<0 ó x>0

  • Escribe los intervalos de concavidad y convexidad

    • Para comprobar el resultado introduce el valor de f''(x) en la escena, y observa que no corta al eje OX.

    • En este caso, ¿qué ocurre en x=0?. ¿Cómo es f''(x) antes y después de 0? 

    • Si cambias el valor de x se dibujará y=f(x) y podrás observar su comportamiento.

 

3) Calcula el valor de a para que la función
f(x)=x3-ax2+2x tenga un punto de inflexión en x=1. 

  • Calcula f''(x) y resuelve la ecuación: f''(1)=0  

  • Para el valor de a obtenido ¿cuánto vale f'''(1)?

    • Cambia el valor de a en la escena hasta conseguir que el punto rojo esté sobre el eje de abscisas.¿Cuánto vale a?

    • Ahora f''(x) es 0 en x=a. Cambia el valor de x y se dibujará y=f(x), así podrás comprobar que en x=1 hay un punto de inflexión.

 

María José García Cebrian

 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000