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PROGRAMACIÓN LINEAL


En las actividades económicas normalmente se analizan variables ligadas mediante inecuaciones y cuyo objetivo es encontrar soluciones para las variables que hagan máximo el beneficio o mínimo el coste.

La programación lineal trata de optimizar (Maximizar o minimizar) una función lineal, denominada función objetivo, sujeta a una serie de restricciones expresadas mediante inecuaciones lineales.

Nosotros vamos a restringirnos a la programación lineal de dos variables, en ella la función objetivo será de la forma:

f(x,y)=ax+by

y las restricciones adoptaran la forma:

ai x+bi y £ ci ó ai x+bi y ³ ci

El conjunto de soluciones factibles para este problema es un polígono, cuyos lados son las rectas asociadas a cada restricción, este polígono puede ser acotado o no acotado. Todo punto del polígono cumple las restricciones y por tanto puede ser solución.

La solución óptima se encuentra siempre en un vértice de la región factible.

veamos un ejemplo:

la función objetivo es f(x,y)=4x+2y

las restricciones:    x ³ 0     y ³ 0     x+2y £ 12     3x+2y £ 16    2x-y £ 6

di cual es el valor máximo de la función objetivo en este recinto

 

Solución gráfica: rectas de nivel

Llamamos rectas de nivel asociadas a la función objetivo f(x,y)=ax+by a las rectas ax+by=k, en todos los puntos de una recta de nivel la función objetivo tiene el mismo valor k, la solución optima se consigue encontrando la recta de mayor o menor nivel que tiene puntos de la región factible.

En el mismo recinto anterior y con la misma función objetivo veamos las rectas de nivel

Ejercicio:

1) ¿Qué valor del recinto hace máxima la función objetivo?

2) ¿Qué valores de a y b hacen que el problema tenga infinitas soluciones? ¿como debe ser la recta para que esto ocurra?

Si las restricciones fueran: x ³ 0     y ³ 0     15x+28y ³ 450     25x+10y ³ 200 y la función objetivo hubiera que minimizarla y fuera f(x,y)=25x+30y  

 

Ejercicio:

1) ¿Que punto hace mínima la función objetivo? ¿Y máxima?

2) ¿Qué valores de a y b hacen que el problema tenga infinitas soluciones?


Autor: Antonio Caro Merchante

 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000