LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS

Representación de sus gráficas

I. Representación de la función y=x^2

En tu cuaderno de trabajo, toma diversos valores de x y halla su cuadrado.

Al representar sobre unos ejes cartesianos la tabla de valores de la función obténdremos una aproximación de su gráfica. Lo anterior te resultará más fácil con el programa Descartes.

Modifica los valores de x para valores mayores y menores que cero haciendo clic en las flechas. Compara la forma de la gráfica que obtenías en tu cuaderno de trabajo y la que obtienes ahora. Disminuye la escala hasta 5 y vuelve a modificar los valores de x. Pulsa el botón Inicio y amplía la escala hasta 150. Vuelve a variar los valores de la abscisa desde los negativos a los positivos. Haz que se representen puntos intermedios entre los ya representados, por ejemplo, 0.05, 0.15, -0.05, -0.15, etc.

II. Representación de la función y=x^2+k

Deberás darte cuenta de cómo llegar a representar funciones como y=x^2+3(donde k=3), y=x^2+7(donde k=7) e y=x^2-4(donde k=-4) a partir de la función que hemos obtenido en la actividad anterior.

Para representar las funciones anteriores en el programa, dale a k directamente el valor que necesitas(varía la escala si no logras ver la función). Vete apuntando en tu cuaderno sus vértices.

Saca una conclusión en tu cuaderno de trabajo.

Completa la siguiente frase: La función y=x^2+k es una traslación de los puntos de y=....... en la dirección del eje de ......... El vértice de y=x^2+k es (..,..).

Representa las siguientes funciones en tu cuaderno, sin necesidad de dar valores a la x y siguiendo el modelo de y=x^2 : y=x^2-5, y=x^2+9.

III. Representación de la función y=(x+h)^2

Vamos a representar las gráficas de diversas funciones y=(x+h)^2 para distintos valores de h, no ya como una sucesión de puntos, sino como líneas continuas y a darnos cuenta de que obedecen a la misma forma que tiene y=x^2, sólo que con la diferencia de una serie de traslaciones en la dirección de uno de los ejes.

Dale valores positivos y negativos a h. Apunta en tu cuaderno las diferentes funciones y=(x+h)^2 que vas dibujando con el programa y los vértices de cada una de ellas.

Ahora date cuenta de los valores iniciales que tienen k y h, que son 3 y -5, respectivamente. Modifica estos valores con las flechas para que sean cero en ambos casos y observa que al ir modificando sus valores iniciales, lo único que haces es trasladar las gráficas respectivas sobre los ejes. Finalmente se confunden en una sola con y=x^2, porque tienen la misma forma.

Completa la siguiente frase: La función y=(x+h)^2 es una traslación de los puntos de y=.... en la dirección del eje de ......El vértice de y=(x+h)^2 es (..,..).

IV. Representación de la gráfica de y=x^2+b*x+c

Vamos a ver qué representación le corresponde a la función y=(x+h)^2+k y cómo toda función de ecuación y=x^2+b*x+c, podrá transformarse en otra ecuación de la forma y=(x+h)^2+k.

Combina valores diferentes para h y k, escribe en tu cuaderno las funciones que vas representando con sus vértices respectivos.

Modifica los valores iniciales de la escena otorgados a h hasta que sea 0, y a continuación haz lo mismo con k. Fíjate en la escena, cómo la gráfica se va trasladando, primero en dirección el eje x, y luego, en dirección del eje y. Todo ello para terminar coincidiendo con la gráfica de y=x^2.

*Desarrolla la siguiente expresión, y=(x+h)^2+k; primero el binomio de Newton, luego el resto.Iguala dicha expresión con y=x^2+b*x+c y debes llegar a la siguiente conclusión:

b= 2h, entonces h=b/2

c=h^2+k, entonces k=(4c-b^2)/4

Con estos datos, transforma la parábola y=x^2+4x+5 en una de la forma y=(x+h)^2+k, así su representación en el cuaderno te será muy fácil a partir de traslaciones en dirección eje x e eje y de la gráfica de y=x^2.

V. Representación de las parábolas de la forma general y=ax^2+bx+c

Tienes representadas en la escena las gráficas de y=3x^2, y=-5x^2, debes compararlas con y=x^2.¿Cómo son sus ramas respecto a esta última, más abiertas o más cerradas? ¿Van sus ramas hacia arriba o hacia abajo?

Intenta sacar una conclusión general(dando a k y a h el valor 0 y a a diversos valores: En las funciones y=ax^2 con a>1, las ramas van hacia ...... y más abiertas que y=x^2.

Escribe una frase parecida para el caso 0<a<1 y a<0.

-Representemos ahora:

y=3x^2+5 (para ello, debes hacer que a=3, h=0, k=5 por medio de las flechas que se encuentran al lado de cada parámetro). Escribe su vértice.

y=-5x^2+2. Escribe su vértice.

Compáralas con las funciones anteriores y=3x^2, y=-5x^2 (modifica h y k hasta que sean 0).

-Representa asimismo(escribiendo sus vértices en el cuaderno):

y=3(x-1)^2+5 (a=3, h=-1,k=5)

y=-5(x+2)^2+2

Escribe tu conclusión en el cuaderno de trabajo( sobre los vértices de dichas parábolas, sobre su forma,...).

*Desarrolla ahora la siguiente expresión, y=a*(x+h)^2+k.Iguala dicha expresión con y=a*x^2+b*x+c y llegarás a la conclusión:

b= 2ah, entonces h=b/2a

c=ah^2+k, entonces k=(4ac-b^2)/4a

Con estos datos, transforma la parábola y=3x^2+12x+17 en una función de ecuación y=a(x+h)^2+k, así su representación te será muy fácil a partir de traslaciones en dirección eje x e eje y de la gráfica de y=3x^2.

Autor: Carlos-Vidal Díaz Vicente

	Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000