LA FUNCIÓN EXPONENCIAL (2)
Caso particular a > 1 (y especial a = e)
Caso en que cambia el exponente
CASO PARTICULAR a>1 (y especial a = e)
Seguro que ya habrás observado que:
· Si la base es mayor que 1, la gráfica de la función es siempre creciente.
· Como ya hemos comentado ya que el eje X es una asíntota hacia la izquierda, mientras que hacia la derecha la función tiende a infinito.
Quizás ya conozcas un número muy especial llamado número "e". Si no lo conocías, se trata de un número irracional, por tanto con infinitas cifras decimales y no periódico, cuyo valor es 2,718281... en sus seis primeras cifras decimales.
La función exponencial que tiene por base el número e tiene un especial interés que conocerás mejor cuando se estudien los límites y los logaritmos. Evidentemente e>1, luego la función ya es conocida.
Además de escribirse como y = ex , también se escribe como y=exp(x), por tratarse de la función exponencial más utilizada.
En la siguiente escena se presenta dibujada en verde, a la vez que 2x y 3x en azul. Observa que está próxima a ambas, especialmente a la segunda. También puedes variar a tu gusto el valor de a para ver las gráficas de otras funciones exponenciales.
Es este el caso de las funciones exponenciales que tienen menos interés y pocas veces te aparecerán en el futuro.
En la siguiente escena se te presenta inicialmente la función exponencial de base 1/2 = 0,5.
¿qué propiedades particulares observas?
· Verás que todas son siempre decrecientes (recuerda que a>0)
· Tienen al eje X por asíntota horizontal por la derecha, mientras que cuando x se hace muy pequeño la función tiende a infinito.
Prueba en la escena anterior otros valores positivos para "a" y menores que 1.
FUNCIONES EXPONENCIALES CON DISTINTOS EXPONENTES
En algunas ocasiones nos encontramos con funciones exponenciales en las que el exponente no es x sino -x, 2x, x+2, x-1, etc.
En particular e-x, aparecerá con frecuencia (exp(-x) ) en nuestro programa. ¿Cómo crees que será la gráfica?
Obsérvala en la siguiente escena. Ya la habíamos visto ¿no?
Efectivamente, basta observar que e-x, es lo mismo que 1/ex=(1/e)x, y que 1/e es menor que 1, luego se trata de una función exponencial de base menor que 1 ya vista antes. Lo mismo pasaría con otras bases distintas de "e" naturalmente.
Observemos ahora cómo son las funciones exponenciales en las que el exponente es del tipo x+1, x+2, x-1, etc.
En la siguiente escena se presenta ex (en rojo), comparada con ex+1 .
Observa qué propiedades de las enumeradas anteriores se mantienen y cuáles cambian. Escríbelo en tu cuaderno de trabajo
La función ex+1, escrita en azul, puedes cambiarla por la que desees borrando la actual y escribiendo la nueva en la ventana de la izquierda. En particular puedes cambiar el exponente por x+2, x-1, 2x, etc e ir observando cómo cambia la gráfica, siempre comparando con ex
Utiliza la escena siguiente, variando la función exp(x) para contestar a los siguientes ejercicios (debes haber revisado el apartado anterior)
Para volver a la escena inicial, basta pulsal en el botón "inicio".
Ejercicio 1.- ¿En qué se diferencian las funciones exponenciales de exponente "x" y las de exponente "-x"
Ejercicio 2.- ¿En qué cambia la función exponencial cuando el exponente "x" pasa a ser "x+1", "x+2", "x-1", "x-3" y en general "x ± c"?. ¿y si pasa a ser 2x, 3x, etc?
Ejercicio 3.- ¿Qué función obtenida a partir de la exponencial no tendría al eje X como asíntota horizontal?
Ejercicio 4.- ¿Qué funciones obtenidas a partir de la exponencial, cortarían al eje Y a la altura 0, 1, 2, -1, -2, etc?
Autor: Leoncio Santos Cuervo
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| Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000 | ||