Sistemas de ecuaciones lineales.
Interpretación gráfica.
Sistema de ecuaciones dependiente de un parámetro
Sea el sistema:
3 x + m y = -2 |
2 x - y = 4 |
donde la primera ecuación representa a una familia de rectas, una para cada valor de m.
Se trata de determinar las soluciones del sistema para los distintos valores del parámetro.
1.-Realiza la representación para distintos valores del parámetro m.
Observa la familia de funciones, que en este caso es un haz de rectas concurrentes, y las soluciones de cada sistema.
żSon todos los sistemas compatibles determinados?
Análisis de un sistema de ecuaciones dependiente de un parámetro
Consideremos el sistema anterior:
4 x + m y = -2 |
2 x - y = 4 |
para determinar la compatibilidad del sistema según los valores del parámetro hay que basarse en la relación siguiente:
Relación entre |
Compatibilidad |
a1/a2 ą b1/b2 |
Compatible
determinado |
a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 |
Compatible
indeterminado |
a1/a2 = b1/b2 ą c1/c2 |
Incompatible |
En este caso hay que comprobar qué relación hay entre las fracciones:
4/2; m/-1; -2/4
Se resulve la ecuación que resulta de igualar las dos primeras fracciones:
4/2=m/-1 Ţm = -2
Es decir que si m ą -2, entonces 4/2ąm/-1 y por lo tanto el sistema es compatible determinado.
Pero si m = -2, entonces 4/2 = m / -1 ą -2/4 y por lo tanto el sistema es incompatible.
Analiza los siguientes sistemas:
2m
x - y = ˝ 2 x - 2 y = 1 |
2.- Observa cómo son las soluciones de casi todos los sistemas.
żSabrías explicar por qué?
m x + m y
= - 1 x + y = 2 |
3.- En este caso el parámetro genera un haz de rectas paralelas.
żPor qué?
-
x - m y = 0 x + m y = 2 |
4.- Ahora hay dos haces de rectas, para cada valor del parámetro las rectas permanecen paralelas entre sí. żPor qué?
m x + y = 4 2 x + 2 m y = 5 |
5.- En este caso hay dos haces de rectas concurrentes.
x - m y = m+1 x + y = 0 |
6.- Ahora hay un haz de rectas concurrentes y otro de rectas paralelas.
Observa la curva que describen los puntos que son solución de los diferentes sistemas.
Autor: Juan Madrigal Muga
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Ańo 2000 | ||