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La Elipse


La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamos focos es contante.  En la siguiente escena mide las distancias de varios puntos de la elipse a los focos F y G y comprueba que la suma de estas distancias siempre es constante.

 


En una elipse hay que destacar los siguientes elementos:

    Se denomina eje focal  a la recta que pasa por los focos, eje secundario a la mediatriz del segmento que determinan los focos.

    El eje mayor que es el segmento AA´ cuya longitud se representa por 2a.

    El eje menor que es el segmento BB´ cuya longitud se representa por 2b.

    Los focos F y G y la distancia focal que se representa por 2c.

    El centro de la elipse, O, es el punto intersección de los ejes.

Sean F y G los focos de una elipse y sea 2a  la suma de las distancias de los puntos de la elipse a los focos. La siguiente escena muestra un punto P que cumple la propiedad:

PF + PG = 2a

Ejercicios:

1) Arrastra el punto P y verás que el rastro que deja es una elipse.
2) Cambia el valor de a entre 3 y 6 y dibuja las elipses correspondientes.
    ¿Qué ocurre cuando a=3?

3) Demuestra que la formula de la elipse centrada en el origen es

 


En la escena siguiente comprueba la formula dándole valores a a y b

Ejercicios:

1) ¿Qué ocurre cuando a y b son iguales?.
2) ¿Qué ocurre cuando b es mayor que a?

3) Encuentra la formula de la elipse cuyo eje principal es el eje y


En la siguiente escena comprueba para varios valores de a y de c que se cumple que a²=b²+c².


 

Ejercicios:

1) Demostrar esta ecuación, observa para ello el triángulo rojo de la escena.
  


Vamos a definir excentricidad de una cónica, representado por e, a el cociente entre la distancia focal y la longitud del eje principal. Como la distancia focal es 2c y la longitud del eje principal 2a, la excentricidad, e =c/a.

Veamos que ocurre con la excentricidad en las elipses en la siguiente escena.

 

Ejercicios:

1) Da varios valores a c y comprueba que ocurre con la excentricidad. Entre que valores esta la excentricidad en la elipse.
2)¿qué ocurre con la elipse cuando la excentricidad se aproxima a cero?
3) ¿Qué ocurre cuando e se aproxima a uno?


Autor: Antonio Caro Merchante

 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000