Límite de una función en el infinito (definición)

Siguiendo con el esquema de trabajo descrito en la página titulada "Límite de una función en un punto (definición)" vamos a tratar de dar en esta página una definición rigurosa del concepto de límite de una función en el infinito en sus distintas variantes. Para ello, y como hemos hecho antes, partiremos de situaciones concretas sobre las que se irán planteando una serie de cuestiones y, a partir de las respuestas a esas cuestiones obtendremos las definiciones buscadas.

En todo lo que sigue utilizaremos la notación descrita en la página antes mencionada.

Límite finito

La idea intuitiva que subyace en estas dos situaciones es la siguiente: si x se hace muy grande (o muy pequeña respectivamente) f(x) se acerca a b. Nuestro objetivo es precisar en qué consisten las expresiones "hacerse grande", "hacerse pequeño" y "acercarse".

Hechas estas precisiones fíjate en la imagen siguiente y manípulala lo que consideres oportuno para responder a las cuestiones que la acompañan.

  • Las líneas horizontales de color turquesa tienen como ecuaciones y=b+e e y =b-e por lo que todos los valores de f(x) contenidos en la banda limitada por esas dos rectas distan de b menos que e. Con el valor actual de e=1 desplaza x hacia la derecha para averiguar a partir de qué valor, K, podemos asegurar que se cumple que si x>K entonces |f(x)-b|<e.
  • Haz lo mismo desplazando x hacia la izquierda. En este caso se trata de averiguar a partir de qué valor, K, podemos asegurar que se cumple que si x<K entonces |f(x)-b|<e.
  • Repite la primera cuestión dando a e, sucesivamente los valores 0.5, 0.1 y 0.01. (En este último caso tendrás que ampliar bastante la escala para poder trabajar bien).
  • Repite la segunda cuestión dando a e, sucesivamente los valores 0.5, 0.1 y 0.01. (En este último caso tendrás que ampliar bastante la escala para poder trabajar bien).

Si has conseguido hallar las respuestas a las preguntas anteriores te darás cuenta de que se puede obtener la siguiente conclusión: Si b es el límite de f(x) cuando x tiende más infinito, se cumple que sea cual sea el valor del número positivo e, es posible encontrar otro número real, K, tal que si x es mayor que K, entonces la distancia entre f(x) y b es menor que e.

En otras palabras, que cuando x se hace grande, f(x) está cerca de b.

Esto nos lleva a la siguiente

Definición

Diremos que b es el límite de la función f(x) cuando x tiende a más infinito, cuando sea cual sea el valor del número positivo e, es posible encontrar un número real, K, tal que si x es mayor que K, entonces la distancia entre f(x) y b es menor que e.

Simbólicamente esta definición se representa así:



que también suele ponerse de esta otra manera:

Ejercicio

Intenta definir por tu cuenta el otro caso (b es el límite de f(x) cuando x tiende a menos infinito). Intenta también obtener expresiones simbólicas para este caso similares a las anteriores.



Límite infinito (+)



La idea intutitiva de esta situación nos decía que cuando x se hace muy grande (o muy pequeño, respectivamente), f(x) va creciendo indefinidamente, es decir, podemos hacer que f(x) sea tan grande como se quiera sin más que hacer que x crezca (o decrezca) lo suficiente.

De nuevo nos encontramos con conceptos algo ambiguos: "hacerse pequeño" y "hacerse grande". Al igual que en el caso anterior la cuestión principal es ¿a partir de qué valor consideramos que un número es grande o pequeño?. Para responder a esta pregunta procederemos igual que en la situación anterior, es decir, partiremos de una situación concreta sobre la que se plantean una serie de cuestiones. Las respuestas a estas cuestiones nos permitirán definir con claridad los conceptos antes mencionados.

Hechas estas precisiones fíjate en la imagen siguiente y manípulala lo que consideres oportuno para responder a las cuestiones que la acompañan.

  • La línea horizontal de color turquesa tiene como ecuación y=K por lo que todos los valores de f(x) que estén por encima de dicha recta son mayores que K. Con el valor actual de K=3, desplaza x hacia la derecha y averigua a partir de qué valor, L, se cumple que si x>L entonces f(x)>K con toda seguridad.
  • Ahora haces lo mismo por la izquierda. Con el valor actual de K=3, desplaza x hacia la izquierda y averigua a partir de qué valor, L, se cumple que si x<L entonces f(x)>K con toda seguridad.
  • Repite la primera cuestión dando a K, sucesivamente los valores 10, 50 y 100. (En estos últimos casos tendrás que ampliar bastante la escala para poder trabajar bien)
  • Repite la segunda cuestión dando a K, sucesivamente los valores 10, 50 y 100. (En estos últimos casos tendrás que ampliar bastante la escala para poder trabajar bien)

Si has conseguido hallar las respuestas a las preguntas anteriores te darás cuenta de que se puede obtener la siguiente conclusión: Si el límite de f(x) cuando x tiende a más infinito es más infinito, se cumple que sea cual sea el valor del número real K, es posible encontrar otro número real L, tal que si x es mayor que L,entonces f(x) es mayor que K.

En otras palabras, estamos diciendo que cuando x se hace grande, f(x) también; o dicho de otra forma: si queremos que f(x) sea grande, basta con que x aumente suficientemente.

Esto nos lleva a la siguiente

Definición

Diremos que el límite de la función f(x) cuando x tiende a más infinito es más infinito, cuando sea cual sea el valor del número real K, es posible encontrar otro número real L, tal que si x es mayor que L, entonces f(x) es mayor que K.

Simbólicamente esta definición se representa así:



Ejercicio

Intenta definir por tu cuenta el otro caso (más infinito es el límite de f(x) cuando x tiende a menos infinito). Intenta también obtener expresiones simbólicas para este caso similares a las anteriores.



Límite infinito (-)



La idea intutitiva de esta situación nos decía que cuando x se hace muy grande (o muy pequeño, respectivamente), f(x) va decreciendo indefinidamente, es decir, podemos hacer que f(x) sea tan pequeño como se quiera sin más que hacer que x crezca (o decrezca) lo suficiente.

De nuevo nos encontramos con conceptos algo ambiguos: "hacerse pequeño" y "hacerse grande". Al igual que en el caso anterior la cuestión principal es ¿a partir de qué valor consideramos que un número es grande o pequeño?. Para responder a esta pregunta procederemos igual que en la situación anterior, es decir, partiremos de una situación concreta sobre la que se plantean una serie de cuestiones. Las respuestas a estas cuestiones nos permitirán definir con claridad los conceptos antes mencionados.

Hechas estas precisiones fíjate en la imagen siguiente y manípulala lo que consideres oportuno para responder a las cuestiones que la acompañan.

  • La línea horizontal de color turquesa tiene como ecuación y=K por lo que todos los valores de f(x) que estén por debajo de dicha recta son menores que K. Con el valor actual de K=3, desplaza x hacia la derecha y averigua a partir de qué valor, L, se cumple que si x>L entonces f(x)<K con toda seguridad.
  • Ahora haces lo mismo por la izquierda. Con el valor actual de K=3, desplaza x hacia la izquierda y averigua a partir de qué valor, L, se cumple que si x>L entonces f(x)<K con toda seguridad.
  • Repite la primera cuestión dando a K, sucesivamente los valores -10, -50 y -100. (En estos últimos casos tendrás que ampliar bastante la escala para poder trabajar bien)
  • Repite la segunda cuestión dando a K, sucesivamente los valores -10, -50 y -100. (En estos últimos casos tendrás que ampliar bastante la escala para poder trabajar bien)

Si has conseguido hallar las respuestas a las preguntas anteriores te darás cuenta de que se puede obtener la siguiente conclusión: Si el límite de f(x) cuando x tiende a más infinito es menos infinito, se cumple que sea cual sea el valor del número real K, es posible encontrar otro número real L, tal que si x es mayor que L,entonces f(x) es menor que K.

En otras palabras, estamos diciendo que cuando x se hace grande, f(x) se hace pequeño; o dicho de otra forma: si queremos que f(x) sea pequeño, basta con que x aumente suficientemente.

Esto nos lleva a la siguiente

Definición

Diremos que el límite de la función f(x) cuando x tiende a más infinito es menos infinito, cuando sea cual sea el valor del número real K, es posible encontrar otro número real L, tal que si x es mayor que L, entonces f(x) es menor que K.

Simbólicamente esta definición se representa así:



Ejercicio

Intenta definir por tu cuenta el otro caso (menos infinito es el límite de f(x) cuando x tiende a menos infinito). Intenta también obtener expresiones simbólicas para este caso similares a las anteriores.



Autor: José Luis Alonso Borrego