FUNCIONES INVERSAS

FUNCIONES
Puesto que vamos a hablar de funciones inversas (también llamadas recíprocas) debemos tener claro el concepto de función. Seguro que muchas veces hemos ya trabajado con funciones, tanto en Matemáticas como en Física. ¿Pero nos hemos planteado alguna vez qué es una función? ¿Conocemos una definición formal y precisa de función? Todos tenemos una idea intuitiva de función, pero debemos plasmarla utilizando un lenguaje matemático. Al dar una definición formal puede que parezca que se pierde nuestra intuición, pero debemos hacer un esfuerzo para asociar nuestra intuición con la definición formal que ha sido dada por otros que se molestaron en expresar con un lenguaje útil aquello que pensaban y/o intuían.

A lo largo de la historia se han dado varias definiciones de función, aquí se expondrá la que es comúnmente utilizada dentro del ámbito de la Matemática Moderna.

Antes de dar la definición de función conviene recordar que:

DEFINICIÓN: Una función f es un subconjunto de RxR tal que no hay dos pares distintos de f que tengan la misma primera coordenada. En otras palabras, si dos pares de f tienen el mismo primer elemento, tienen también el segundo igual; es decir, si (a, b), (a, c) Î f, entonces b=c.

EJEMPLOS:

  1. f = { (1, 2), (2, 4), (3, -1), (4, 2) } es una función.
  2. g = { (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, -1) } no es una función, pues los pares (1, 2) y (1, 3) tienen igual la primera coordenada y según la definición debería ser 2=3, lo cual no es cierto.

Cuando un conjunto viene dado por una lista de pares es fácil ver si es una función o no; sin embargo, si el conjunto está definido por una propiedad puede ser muy complicado determinar si es función o no. Dependerá de los conocimientos matemáticos que se posean.

EJEMPLOS:

  1. f = { (x, y) / y=2x } es una función, pues el valor de y viene determinado de forma única a partir del de x.
  2. g = { (a, b) / a2+b2=9 } no es una función, pues los pares (0, 3) y (0, -3) tienen igual la primera coordenada y distinta la segunda coordenada.
  3. h = { (a, b) / a2+b3=16 } es una función; basta con despejar b y observar que viene determinado por a de forma unívoca.
  4. k = { (x, y) / x3+y3=16xy } no es una función; demostrar esta afirmación no es fácil.

Si tuviéramos representados los conjuntos anteriores, sería fácil determinar cuáles son funciones y cuáles no. Basta observar que la definición de función significa, gráficamente, que no hay dos puntos de la función situados sobre la misma recta vertical. En la siguiente escena podemos ver representado cada uno de los ejemplos anteriores y, utilizando la recta vertical asociada a un control, establecer cuáles son funciones y cuáles no.

Después de seleccionar el número correspondiente al ejemplo, hay que pulsar el botón "Limpiar" para que aparezca la correspondiente representación.

Ejercicio 1: Utilizando la escena anterior, averiguar tres puntos del conjunto del ejemplo 4 cuya primera coordenada sea 8. Los resultados que se obtengan serán aproximados. Utilizar una calculadora para comprobar la bondad de los resultados. (Recordar que el Nippe Descartes presenta las coordenadas del punto sobre el que se encuentra el puntero del ratón cuando se presiona el botón principal del mismo sobre un punto donde no se encuentre situado ningún "control")

La propiedad que defina la función no tiene por qué estar definida por una única fórmula, puede ser tan compleja como la siguiente, o incluso más:

f0 = { (x, y) / x2+y2=9 si y>=0; x2+y3=16 si y<0}

cuya representación gráfica se puede observar en la siguiente escena.

Se pueden observar de nuevo las representaciones, en la primera escena, de los ejemplos 2 y 3 para entender que ésta es la representación de la función f0 . Las limitaciones de los ordenadores hacen que la función no se represente adecuadamente en los alrededores del 4 y del -4; se puede utilizar la escala para ver como es en realidad en dichos valores.

A partir de la definición de función, definiremos dominio y rango de una función, e imagen de un elemento.

DEFINICIÓN: Si f es una función, llamamos dominio de la función al conjunto formado por las primeras coordenadas de los pares de f y rango al conjunto formado por las segundas coordenadas de los pares de f. Si el par (a, b) pertenece a f, llamamos imagen de a al número b y lo representamos por f(a)=b. Obsérvese que, por la definición de función, hay un único b para cada a del dominio.

EJEMPLOS:

  1. Sea la función f = { (1, 2), (2, 4), (3, -1), (4, 2) }. Su dominio es el conjunto { 1, 2, 3, 4}. Su rango es { 2, 4, -1 }. Y f(1)=2, f(2)=4, f(3)=-1 y f(4)=2.
  2. Sea la función h = { (a, b) / a2+b3=16 } = { (x, y) / y=(16-x2)1/3 }. Observando su gráfica en la primera escena podemos deducir que su dominio es todo R; su rango es el conjunto de todos los números menores o iguales que 161/3 (aproximadamente 2,52); y, por ejemplo, h(-4)=0, h(0)=161/3.

Es hora de reconciliar nuestra idea de función con la dada por la Matemática Moderna. Cuando nosotros decíamos: sea la función y=f(x)=x2 cuyo dominio es el intervalo [-2, 4], queremos decir que a cada número del intervalo [-2, 4] le asociamos su cuadrado y de los demás no nos preocupamos. Expresada en término de conjuntos, sería:

f = { (x, y) / y=x2 si -2 <= x <= 4 } = { (x, x2) / -2 <= x <= 4 }.

La mayoría de las veces, ni siquiera especificábamos el dominio de la función, sencillamente decíamos, por ejemplo: sea la función y = f(x) = (1-3x)/(4-x2), dando por supuesto que el dominio de la función es el mayor conjunto donde las operaciones implicadas en la expresión tuvieran sentido. Naturalmente, esta forma de dar una función se seguirá utilizando, pero no debemos de olvidar que una función es un conjunto de pares ordenados y que la expresión de la función lo que nos dice es cómo están relacionados entre sí los elementos del par.

Lo importante de una función f es que esté determinado de forma única el número f(x) para todo x de su dominio.

Teniendo en cuenta todas las definiciones que hemos dados, podemos decir que una función f es el conjunto:

f = { (x, y) / y=f(x), para todo x del dominio de f } = { (x, f(x)) / x del dominio de f }

Después de todo esto, nuestra "antigua" idea de función deber coincidir con la "nueva".

Puede parecer que la definición moderna de función es complicada y que, además no lleva a ninguna parte, pero creo que será la mejor forma de entender la función inversa.

Ejercicio 2: ¿Cuál es el dominio y el rango de la función f0 representada en la segunda escena? Conviene mirar la escena para dar una respuesta correcta. ¿Cuánto vale f0(3), f0(0), f0(-1), f0(-4), f0(8) y f0(3,5)?

FUNCIONES INVERSAS
Sabemos que una función es un conjunto de pares. Se nos puede ocurrir la idea de dar la vuelta a los pares y obtener así una nueva función. Hagámoslo con la función:

f = { (1, 2), (2, 4), (3, -1), (4, -2) }

y observemos qué pasa llamando g al conjunto resultante:

g = { (2, 1), (4, 2), (-1, 3), (-2, 4) }

Hemos obtenido una nueva función.

Sin embargo, esto no funciona siempre. Tomemos ahora como f el conjunto:

f = { (1, 2), (2, 4), (3, -1), (4, 2) }

y, entonces, g será:

g = { (2, 1), (4, 2), (-1, 3), (2, 4) }

que no es una función, pues g(2) no está determinado de forma única; es decir, g no cumple la condición de función. Existen dos pares, (2, 1) y (2, 4), que tienen la misma primera coordenada y la segunda coordenada es distinta.

¿Cuál es la diferencia entre estos dos ejemplos? Sencillamente, que en el segundo ejemplo f(1)=f(4)=2 y al darle la vuelta a los pares, g(2) no está determinado de forma única; con lo cual g no es una función. En el primer ejemplo, para valores diferentes de la "x" se obtienen valores diferentes de la "y". Las funciones que se comportan como la del primer ejemplo se llaman funciones inyectivas o uno a uno.

DEFINICIÓN: Una función f es inyectiva o uno a uno si f(a) es distinto de f(b) cuando a es distinto de b.

Cuando al invertir los pares de que consta una función se obtiene otra función, decimos que dicha función tiene inversa (también llamada recíproca). Por lo dicho anteriormente, sólo tienen inversas las funciones inyectivas.

DEFINICIÓN: Si f es una función inyectiva, llamamos función inversa de f y la representamos por f-1 al conjunto:

f-1 = { (a, b) / (b, a) Î f }

Es decir, f-1 = { (x, y) / x=f(y), si y es del dominio de f } = { (f(y), y) / si y es del dominio de f }

De la definición se sigue inmediatamente que el dominio de la función inversa f-1 es el rango de f y, recíprocamente, el rango de f-1 es el dominio de f. También es fácil observar que f-1(a)=b es equivalente a decir que f(b)=a. Utilizando la "x" y la "y" que tan acostumbrado estamos a usarlas cuando se habla de funciones: f-1(x)=y es equivalente a decir que f(y)=x. Otra forma de decir esto es: f(f-1(x))=x (donde x pertenece al rango de f), o bien, f-1(f(x))=x (donde x pertenece al dominio de f). Utilizando la composición de funciones y llamando I (función Identidad) a la función definida por I(x)=x, podemos escribir:

fof-1 = I        y        f-1of = I

salvo que el segundo miembro de estas dos igualdades tendrá un dominio más amplio que el primer miembro si el dominio de f o de f-1 no es todo R.

Por cierto, si una función tiene inversa, ¿a qué será igual (f-1)-1, o sea, la función inversa de la función inversa?

La idea de función inversa se ha utilizado muchas veces en los cursos anteriores a este nivel, sólo que no se le ha dado nombre. Recordar cómo se definía raíz cuadrada, cúbica...

Para determinar si una función tiene inversa tenemos que observar sus pares y ver si es inyectiva. Esto es muy fácil de hacer cuando la función viene dada por una lista de pares. Cuando la función viene definida por una propiedad, todo se complica y no siempre tendremos suficientes conocimientos matemáticos para determinar tal circunstancia (del mismo modo que nos pasaba cuando queríamos determinar si un determinado conjunto era o no función).

La representación gráfica de la función nos permitirá saber si la función tiene inversa o no, al menos en los casos más comunes. Basta observar que la definición de función inyectiva significa, gráficamente, que no hay dos puntos de la función situados sobre la misma recta horizontal. O dicho de otra forma, a partir de la representación gráfica de f, se construye la representación gráfica del conjunto de pares invertidos y se observa si este conjunto es función o no.

EJEMPLOS:

  1. La función f definida por y=2x-3, es decir, f = { (x, y) / y=2x-3 } = { (x, 2x-3) } tiene inversa y su inversa será f-1 = { (y, x) / y=2x-3 } = { (x, y) / x=2y-3 } = { (2x-3, x) }
  2. La función g definida por y=x2-2x-2, es decir, g = { (x, y) / y=x2-2x-2 } = { (x, x2-2x-2) } no tiene inversa. Por ejemplo, los pares (0, -2) y (2, -2) pertenecen a g y por lo tanto, g no es inyectiva.

La siguiente escena presenta ambos ejemplos. La función f o g aparecerá en azul y el conjunto de pares invertidos en rosa. Un control que se mueve a través de las funciones nos va mostrando un par de la función y otro punto nos presenta el correspondiente par invertido. Se podrá observar también en la escena una recta, la bisectriz del primer y tercer cuadrante (la recta de ecuación y=x). Observar que las gráficas de una función y de su conjunto de pares invertidos son simétricas respecto de dicha recta.

Ejercicio 3: La función h = { (x, y) / y=x2-2x-2, si x > 1 } = { (x, x2-2x-2) / x > 1 } ¿tiene inversa? Utilizar la escena anterior para dar una respuesta adecuada. Si la respuesta es afirmativa, señalar gráficamente en la escena cual es la inversa ayudándose del control de la escena. ¿Tiene inversa la función k = { (x, y) / y=x2-2x-2, si x < 1 }?

Ejercicio 4: La escena siguiente representa tres funciones. Decir cuáles tienen inversa y cuál no. Utilizar el control de la escena para construir el conjunto de pares invertidos de cada una de ellas.

Ejercicio 5: ¿Qué pasa con la tercera función del ejercicio 4? ¿Cómo es la gráfica de la función respecto de la recta y=x? Escribe la generalización de lo que has observado y si puedes, demuéstralo.

CÁLCULO DE f-1(x)
Sabemos que f-1 = { (x, y) / x=f(y) } = { (f(y), y) / si y es del dominio de f } = { (x, y) / y=f-1(x), si x es del rango de f }. Pero si queremos hallar la expresión de f-1(x), es decir, cuánto vale y en función del valor de x si el par (x, y) pertenece a f-1 ¿qué haremos? Bien sencillo decirlo: debemos despejar y en la ecuación x=f(y). Naturalmente, si x=f(y) es una ecuación, pues si la función viene dada por una lista de pares no será necesario ningún cálculo y si la función viene dada por una expresión más o menos compleja, tendremos que estudiarla y ver si estamos en condiciones de calcular la expresión de la función inversa. Los ejemplos que realicemos serán "sencillos" y estarán basados en los ejemplos ya representados.

Despejar, éste es nuestro problema. Si no tenemos dificultades para despejar "letras" en expresiones algebraicas, no tendremos dificultades en el cálculo de la expresión de f-1(x) a partir de la expresión de f(x).

EJEMPLOS:

  1. Sea la función f = { (x, y) / y=2x-3 }. Su función inversa será: f-1 = { (x, y) / x=2y-3 }. Despejamos y en la expresión x=2y-3. Paso a paso:   x+3=2y;   (x+3)/2=y. Ya tenemos f-1(x)=(x+3)/2. Fácil, pues la expresión de la función f estaba dada por un polinomio de primer grado.
  2. Sea la función g dada por la expresión g(x)=(-3x+5)/4. Su función inversa g-1 estará dada por g-1(x)=(5-4x)/3. Realiza todos los pasos como en el ejemplo anterior y comprueba que la solución es correcta.

La escena siguiente nos va a permitir comprobar, gráficamente, que hemos hecho bien los cálculos de la expresión de la función inversa cuando la función viene dada por una única fórmula. La función azul será la función de partida; la rosa, será la inversa, pero expresada su condición de la forma x=f(y); la roja, será la expresión de la función inversa que hayamos obtenido al despejar la y en x=f(y). Todas la expresiones deberán introducirse para cada uno de los ejemplos que se quieran comprobar. Sirva como modelo el ejemplo 1. Si hemos realizado bien los cálculos, las conjuntos de puntos rosas y rojos coincidirán. La escena tiene mal escrita, adrede, la roja. Modifíquese y se verá que coincide con la rosa. La escena contiene también la recta de ecuación y=x para hacer hincapié en la simetría de las gráficas de una función y de su inversa respecto de esta recta.

EJEMPLOS:

  1. Sea la función definida por f(x)=x2-2x-2. Ya vimos que no tenía inversa, pero si restringíamos su dominio a sólo los números mayores que 1, sí tenía. ¿Cuál será la expresión de f-1(x) en tal caso? Cuando despejemos y en la expresión x=y2-2y-2 lo sabremos. He aquí el problema, despejar; todavía tenemos suficientes conocimientos matemáticos para realizarlo, pues es equivalente a despejar y en la ecuación y2-2y-2-x=0, o sea, resolver una ecuación de segundo grado. Utilizando la fórmula tradicional obtenemos dos soluciones: y=1+(3+x)1/2  ,  y=1-(3+x)1/2. ¿Cuál de las dos será? Teniendo en cuenta el ejercicio 3 y utilizando la escena anterior, hállese la solución correcta.
  2. Sea la función definida por f(x)=x3-2. Su función inversa está definida por: f-1(x)=(x+2)1/3. Esto se ha obtenido despejando y en la expresión x=y3-2. Fácil de hacer y de entender, supongo.
  3. Sea la función definida por f(x)=x3+2x-2. Su función inversa está definida por: f-1(x)=... Ni se intente, pues para hallarla tendríamos que resolver una ecuación de tercer grado cuya fórmula no conocemos, aunque exista. Aún así, represéntese en la escena f y f-1.

Ejercicio 6: Hallar la expresión de f-1(x) para la función f(x)=(2x+3)/(3x-6). Esta la primera función del ejercicio 4. Recuérdese que se puede comprobar la solución en la escena anterior.

Autor: Salvador Calvo-Fernández Pérez

 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000