MÁXIMOS Y MÍNIMOS |
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Diremos que una función y=f(x) alcanza un MÁXIMO en xo cuando existe un entorno de xo en el que f(x)£f(xo) Análogamente diremos que alcanza un MÍNIMO en xo cuando existe un entorno de xo en el que f(x)³f(xo)
Veamos qué ocurre cuando tratamos con funciones derivables.
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Sea f una función derivable,
Diremos que una función y=f(x) alcanza un MÁXIMO relativo en xo cuando existe un entorno de xo en el que f(x)£f(xo)
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Análogamente diremos que alcanza un MÍNIMO relativo en xo cuando existe un entorno de xo en el que f(x)³f(xo)
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Si una función es derivable y alcanza en xo un máximo o un mínimo, entonces f'(xo) = 0 |
Esta condición es necesaria pero no suficiente ya que puede ocurrir que una función tenga derivada nula en un punto pero no tenga en ese punto ni máximo ni mínimo |
Observa ahora la escena donde están representadas una función y=f(x),su derivada y=f'(x) y la derivada segunda y=f''(x)
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f'(xo) = 0 y f''(xo)< 0, f tiene un máximo en xo | |
f'(xo) = 0 y f''(xo)>0, f tiene un mínimo en xo |
Cálculo de los máximos y mínimos relativos de una función
En la escena están
representadas la función
x=-1, f'(x)=0, f''(x)>0 mínimo en (-1,-2) x=0, f'(x)=0, f''(x)<0 máximo en (0,-1) x=1, f'(x) = 0, f''(x)>0 mínimo en (1,-2) |
La escena muestra la función y=2x/(x2+1) y su derivada y=f'(x)
x=-1, f'(x)=0, f''(x)>0 mínimo en (-1,1) x=1, f'(x)= 0, f''(x)<0 máximo en (1,1) |
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1) Calcula los extremos relativos de la función f(x)=(x2-3)ex-1
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2) Calcula los extremos relativos de la función f(x)=x3/(x2-3)
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3) Calcula
el valor de a
para que la función
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María José García Cebrian
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000 | ||