CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO |
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Una de las primeras aplicaciones de la derivada la tenemos en el estudio del crecimiento y decrecimiento de una función. La idea gráfica de cuando una función crece o decrece ya la conoces. |
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Relación entre la derivada y el crecimiento o decrecimiento de una función
Sea f una función derivable,
Diremos que una función y=f(x) es CRECIENTE en xo cuando existe un entorno de xo tal que: si x£xo entonces f(x)£f(xo) y si xo£x entonces f(xo)£f(x)
Si f es derivable será: |
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Si
una función es derivable y creciente en xo entonces f'(xo) ³ 0 |
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Diremos que una función y=f(x) es DECRECIENTE en xo cuando existe un entorno de xo tal que: si x£xo entonces f(x)³f(xo) y si xo£x entonces f(x)£f(xo)
En este caso: |
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Si una función es derivable y decreciente en xo entonces f'(xo)£ 0 |
Observa ahora la escena donde están
representadas una función y=f(x) y
su derivada y=f'(x)
Recuerda que la derivada de una función en un punto coincide con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto.
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Si f'(xo) > 0, entonces f es creciente en xo | |
Si f'(xo)< 0, entonces f es decreciente en xo |
Cálculo de intervalos de crecimiento y decrecimiento
En la escena están
representadas la función
Para calcular en qué intervalos la función es creciente o decreciente procederemos:
x<-1, f'(x)>0, f creciente en (-¥,-1) -1<x<1, f'(x)<0, f decreciente en (-1,1) x>1, f'(x) > 0, f creciente en (1,+¥) |
La escena muestra la derivada y=f'(x) de la función y=x+1/x
x<-1, f'(x)>0, f creciente en (-¥,-1) -1<x<0, f'(x)<0, f decreciente en (-1,0) 0<x<1, f'(x)<0, f decreciente en (0,1) x>1, f'(x) > 0, f creciente en (1,+¥) |
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x)=x4-2x2
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2) La producción industrial de un país sigue la función f(x)=3/(1+e-x) donde x representa los años a partir de 1990. ¿Está creciendo o decreciendo?
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3) Las temperaturas en cierta ciudad el día de Año Nuevo siguen la fórmula f(x)=-x(x-26)/13 siendo x el número de horas a partir de medianoche. ¿En qué parte del día la temperatura desciende?
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María José García Cebrian
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000 | ||