CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD |
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Diremos que una función es CÓNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva. Análogamente, diremos que es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva.
Los puntos en los que la curvatura pasa de cóncava a convexa o viceversa se llaman PUNTOS DE INFLEXIÓN. |
Sea f una función derivable,
Una función y=f(x) es CÓNCAVA en un intervalo cuando las tangentes a la curva en los puntos de dicho intervalo quedan por encima de la curva.
Diremos que una función y=f(x) es CÓNCAVA en x0 si lo es en un entorno de dicho punto |
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Si f''(xo) < 0 entonces f es cóncava en xo |
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Análogamente y=f(x) será CONVEXA en un intervalo cuando las tangentes a la curva en los puntos de dicho intervalo quedan por debajo de la curva.
Diremos que una función y=f(x) es CONVEXA en x0 si lo es en un entorno de dicho punto |
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Si f''(xo)> 0 entonces f es convexa en xo |
Observa ahora la escena donde están representadas una función y=f(x) y su derivada segunda y=f''(x)
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Si f''(xo) = 0 y f cambia su concavidad en xo entonces f tiene un punto de inflexión en xo |
Cálculo de los intervalos de concavidad-convexidad y puntos de inflexión
En la escena están
representadas la función
x<2, f''(x)<0 cóncava en el intervalo (-¥,2) x=2, f''(x)=0 punto de inflexión en (2,1.08) x>2, f''(x)>0 convexa en el intervalo (2,+¥) |
Ahora la escena muestra la función y=x/(x2-1) y su derivada segunda y=f''(x)
x<-1, f''(x)<0 cóncava en el intervalo (-¥,-1) -1<x<0, f''(x)>0 convexa en el intervalo (-1,0) x=0 f''(0)=0 punto de inflexión en (0,0) 0<x<1, f''(x)<0 cóncava en el intervalo (0,1) x>1 f''(x)>0 convexa en el intervalo (1,+¥) |
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1) Calcula los intervalos de concavidad y convexidad de la función f(x)=ln(x2+1)
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2) Calcula los intervalos de concavidad y convexidad, y los puntos de inflexión de la función f(x)=x-1/x
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3) Calcula
el valor de a
para que la función
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María José García Cebrian
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000 | ||