Construcción de la función tangente
Definición de la tangente de un ángulo agudo:
Sea A un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, recuerda que la tangente del ángulo A es el cociente entre el cateto opuesto BC y el cateto contiguo AB.
1.- Modifica el valor del ángulo A y observa cómo cambia el valor de la tangente.(Puedes pulsar las flechitas de colores o escribir el valor del ángulo entre 0º y 90º)
Comprueba que si se modifica sólo la longitud del cateto AB también cambia el cateto BC y la hipotenusa AC, sin embargo el ángulo A no cambia y el cociente BC/AB, que es el valor de la tangente, tampoco.
Definición de la tangente de un ángulo cualquiera.
Sea A un ángulo cualquiera, si lo representamos con el vértice en el origen de coordenadas y un lado sobre el semieje OX positivo, se define la tangente del ángulo A como el cociente entre la ordenada y la abscisa de cualquier punto del segundo lado.
tg (A) = y/x
2.- Mueve el punto P para modificar el valor del ángulo A y observa el valor de la tangente, prueba con ángulos de distintos cuadrantes y observa como cambia.
Teniendo en cuenta la definición de tangente ¿habrá algún ángulo para el que no esté definida? ¿cuál?
La tangente de ángulos próximos a 90º y a 270º.
Se observa que en los ángulos próximos a 90º y a 270º el valor de la abscisa del punto P es mucho menor que la ordenada, por lo que los cocientes y / x son valores muy grandes.
3.- Mueve el punto P o modifica los valores de x e y y analiza lo que ocurre para valores próximos a 90º y a 270º. ¿Cómo es el signo de la tangente para esos valores? (Escribe valores como 0.1, 0.01, ... y observa el valor de la tangente).
¿Qué pasará para los ángulos de 90º y 270º?
La tangente en la circunferencia goniométrica.
Se llama circunferencia goniométrica a la que tiene su centro en el origen de coordenadas y de radio uno.
Cualquier punto de la circunferencia goniométrica dista 1 del origen, por lo tanto, si representamos el ángulo con el vértice en el origen de coordenadas y un lado sobre el semieje OX positivo, el valor de la tangente coincide con la ordenada del punto de corte del otro lado del ángulo, o su prolongación, con la recta tangente a la circunferencia en el punto M.
tg (a) = y/x = MT/AM=MT/1=MT
4.- Mueve el punto P y observa que la tangente de cada ángulo coincide con la longitud del segmento verde MT.
La función tangente
Construcción de la función tangente a partir de la circunferencia goniométrica.
5.- Aumenta el valor del ángulo en la circunferencia goniométrica y observa los valores de la tangente sobre la circunferencia y en la gráfica y=tg(x), donde x es el ángulo medido en radianes.
La gráfiica de la función tangente
Después de media vuelta a la circunferencia goniométrica los valores de la tangente vuelven a repetirse. Por ello se dice que esta función es periódica, de periodo p.
6.- Utiliza el cambio de escala, aumentándolo y disminuyéndolo. Observa que las rectas verticales de color rojo son asíntotas, es decir que las ramas de la tangente se aproximan a ellas tanto como se quiera.
Autor: Juan Madrigal Muga
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000 | ||