ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR A DOS
Descripción. Resolución gráfica y numérica
Ecuación general de tercer grado
Ecuaciones de grado superior a tres
Descripción. Resolución gráfica y numérica
Suponemos que este tipo de ecuaciones ya se han simplificado todo lo posible para llegar a una ecuación cuyo primer miembro es un polinomio y cuyo segundo miembro es 0.
Ejemplo: x3 + x2 - x - 1 = 0
Para resolver este tipo de ecuaciones utilizamos la regla de "Ruffini".
Suponemos que buscamos en principio soluciones enteras, que sabemos que las posibles son los divisores del término independiente de la ecuación.
¿En la ecuación del ejemplo anterior observas alguna solución?
Observa la escena siguiente. Corresponde a la gráfica de la función f(x) = x3 + x2 - x - 1.
Sabemos que las soluciones de la ecuación son los puntos de corte de dicha gráfica con el eje X.
¿Observas ahora alguna solución?
Cambia el valor de x en la parte inferior hasta encontrarla. Puedes escribir también los valores manualmente.
Compruébala en la ecuación numéricamente en tu cuaderno de trabajo.
Pero recordemos el método de Ruffini para buscar más soluciones
En la escena siguiente se presenta la misma ecuación, la gráfica, y el método de Ruffini aplicado para la solución x = 1 ya observada antes.
Naturalmente al ser el resto 0, quiere decir que el valor x = 1 es una solución de la ecuación.
Pero sabemos también que el polinomio correspondiente al primer miembro de la ecuación se puede descomponer en dos factores, dando lugar a la ecuación (x-1) (x2 +2x + 1) = 0
Resolviendo la ecuación x2 +2x + 1 = 0 (ecuación de segundo grado cuyo tema puedes revisar), se encuentran las otras soluciones (en este caso sólo una más: x = -1, como se puede ver en la gráfica).
Ecuación general de tercer grado
Una ecuación cualquiera de tercer grado, una vez simplificada y ordenada convenientemente, se podrá escribir como:
ax3 + bx2 + cx + d = 0
En general puede tener entre una y tres soluciones, según los factores en que se pueda descomponer el polinomio correspondiente al primer miembro.
En la siguiente escena se presenta en principio la ecuación cuyos coeficiente son:
a = 1, b = -1, c = -1 y d = 1, que tiene dos soluciones.
Prueba a dar otros valores a los parámetros a, b, c y d ( puedes utilizar siempre valores enteros) para ver otros tipos de soluciones.
En la tabla que también se puede ver, la regla de Ruffini te permitirá comprobar las soluciones de forma numérica.
Usando la escena anterior, encuentra las soluciones de las ecuaciones:
a) x3 - 2x2 + x - 2 = 0
b) x3 + 3x2 - x - 3= 0
Comprueba en tu cuaderno de trabajo las soluciones numéricamente.
En los dos casos, usando la regla de Ruffini y la solución de la ecuación de segundo grado, expresa el polinomio del primer miembro con los factores correspondientes.
Ecuaciones de grado superior a tres.
De la misma forma que en el caso anterior se trabajaría con ecuaciones de grado superior a tres.
Por ejemplo la ecuación: x4 - x3 - 4x2 + 4x = 0 Tiene cuatro soluciones que se pueden ver en la escena siguiente.
Compruébalas gráfica y numéricamente.
Finalmente en la escena siguiente puedes cambiar la expresión de la ecuación en la línea inferior (y = primer miembro de la ecuación una vez igualada a 0) para resolver gráficamente una ecuación de cualquier grado.
Observa que la que se presenta inicialmente está factorizada y sería de 5º grado. Pueden verse las 5 soluciones.
Autor: Leoncio Santos Cuervo
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| Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000 | ||