ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (2)
Tipos de soluciones (discusión de la raíces)
TIPOS DE SOLUCIONES (DISCUSIÓN DE LAS RAICES)
1) ECUACIONES CON DOS SOLUCIONES
Ejercicio 1.- La ecuación: 3x2 - 4x + 1 = 0. , resuelta en los ejercicios de la primera parte del tema: (Ecuaciones de segundo grado (1) ), tenía por soluciones: x = 1 y x = 1/3.
Recordemos que en este caso la gráfica que se obtenía a partir de la ecuación (parábola) cortaba al eje X en dos puntos, luego la ecuación tenían dos soluciones.
Se ve en la siguiente escena
Numéricamente, se observaba que el radicando de la raíz cuadrada de la fórmula era positivo (ver fórmula en "Ecuaciones de segundo grado (1).). A este valor se le llama "discriminante" de la ecuación. Se suele simbolizar por un pequeño triángulo, aunque aquí le llamaremos "D"
En el ejemplo el discriminante D = 16 - 12 = 4 > 0, luego la ecuación tiene dos soluciones.
2) ECUACIONES QUE TIENEN UNA SOLA SOLUCIÓN
Ejercicio 2.- Resuelve en el cuaderno de trabajo la siguiente ecuación:
x2 - 2x +1 = 0
Al aplicar la fórmula, habrás llegado a la "raíz cuadrada de 0". "el discriminande de la ecuación es 0"
¿Qué significa ahora?.
Como la raíz cuadrada de 0 es 0, se obtiene que x = 2/2 = 1 como "unica solución" de la ecuación. Por tanto en este caso sólo existe una solución.
Obsérvalo en la siguiente escena.
La parábola sólo corta al eje X en un punto, en el que x = 1. Por tanto:
"Si la ecuación de segundo grado tiene una sóla solución, la parábola corta al eje X en un sólo punto: el vértice de la parábola".
"si cambias el valor de los parámetro y quieres volver a los iniciales, puedes hacerlo haciendo clic sobre el botón inicio".
3) ECUACIONES QUE NO TIENEN SOLUCIÓN
Ejercicio 3.- Resuelve en el cuaderno de trabajo la siguiente ecuación:
x2 + 2x + 2 = 0
Al aplicar la fórmula obtendrás la raíz cuadrada de - 4 (D = - 4) que, "atención" por ser un número negativo, sabes que la raíz cuadrada del mismo no existe.
Decimos que en este caso la ecuación no tiene solución.
Pero veamos gráficamente lo que significa:
Observa en la escena siguiente, donde "a", "b" y "c" toman los valores correspondientes (1, 2 y 2 respectivamente).
¿qué observas ahora respecto a la parábola y el eje X ?
Naturamente la parábola no corta a dicho eje y la ecuación no tiene solución.
Ejercicio 4.- Resolver la ecuación: -2x2 +4x - 5= 0
Cambia en la escena anterior el valor de los parámetros. ¡Atención a todos los signos!. Deberás obtener la raíz cuadrada de -24, luego la ecuación tampoco tendrá solución.
Comprueba en la gráfica anterior, cambiando ahora los valores de a, b y c por los correspondientes a este caso (-2, 4 y -5), que la parábola tampoco corta al eje X.
Por tanto:
"Si la ecuación de segundo grado no tiene solución, la gráfica correspondiente no corta al eje X"
RESUMEN
Hemos visto que el número de soluciones de la ecuación de segundo grado depende del signo número que se obtenga dentro de la raíz cuadrada de la fórmula, o sea el signo del "discriminante" de la ecuación, y su valor será:
D = b2 - 4ac. Puede ocurrir:
a) Que el discriminante sea un número positivo (Ejercicio 1 ). En cuyo caso la ecuación tiene dos soluciones.
b) Que el discriminante sea 0 (Ejercicio 2). En cuyo caso la ecuación tiene una única solución.
c) Que el discriminante sea un número negativo (Ejercicios 3 y 4). En cuyo caso la ecuación no tiene solución
Ejercicio 5 .- Utiliza la siguiente escena, cambiando los valores de los parámetros a, b y c de forma adecuada, para resolver las siguientes ecuaciones gráficamente.
a) x2 - 2x 11 = 0
b) x2 -1/4 = 0
c) 4x2 - 4x +3 = 0
Resuélvelas numéricamente en el cuaderno de trabajo usando la fórmula para comprobar que obtienes las mismas soluciones.
Ejercicio 6.- Utiliza la escena anterior para encontrar ecuaciones de segundo grado (con coeficientes enteros), distintas a las que has resuelto, que tengan dos, una o ninguna solución y escribe dichas soluciones.
Practica cuanto desees cambiando las ecuaciones en la ventana..
Ejercicio 7.- Escribe en tu cuaderno de trabajo al menos dos ecuaciones de cada tipo calculando el valor del "discriminante" y viendo que en cada caso es el que corresponde al número de soluciones de la ecuación.
Se denominan ecuaciones bicuadradas a las ecuaciones de cuarto grado en las que no aparecen términos de tercero ni de primer grado.
Ejemplos: x4 - 5x2 +4 = 0 . .; . . .x4 - 4 = x2 - 1
Para resolver este tipo de ecuaciones se procede inicialmente igual que para las de segundo grado, es decir, operar hasta que no haya denominadores y expresar la ecuación con el segundo miembro igualado a 0.
Gráficamente se pueden resolver como en el caso de las de segundo grado, representando la gráfica correspondiente al primer miembro de la ecuación una vez igualado a 0.
Ver representada en la siguiente escena la primera ecuación del ejemplo: x4 - 5x2 +4 = 0
"Atención que ahora llamaremos a, b y c respectivamente a los coeficientes de x4, x2 y término independiente"
Puede observarse que ahora la gráfica ya no es una parábola que que ¡corta al eje X en cuatro puntos!
Naturalmente eso significa que la ecuación tiene cuatro soluciones: x = - 2 , x = - 1 , x = 1 , x = 2 (Búscalas arrastrando el punto rojo o modificando los valores de x en la ventana inferior).
Resolución numérica
Para resolver las ecuaciones bicuadradas se procede de acuerdo a los siguientes pasos (los vemos con el ejemplo anterior).
Ejercicio 8.- Resolver numéricamente la ecuación : x4 - 5x2 +4 = 0
a) Simplificar y agrupar los términos en el primer miembro (ya está).
b) Llamar a x2 = z (podría ser otra letra cualquiera) , por lo que x4 = z2
c) Resolver la ecuación con la nueva incógnita: z2 - 5z + 4 = 0 (se obtiene usando la fórmula de la ecuación de segundo grado: z = 1 ; z = 4)
d) A partir de los valores de z, obtener los de x.:
z = x2 = 1 ; de donde : x = raiz cuadrada de 1 = ± 1 o
z = x2 = 4, de donde : x = raiz cuadrada de 4 = ± 2
Por tanto obtenemos las cuatro soluciones que antes vimos gráficamente: x = - 2 , x = - 1 , x = 1 , x = 2
Casos posibles para las soluciones
Teniendo en cuenta los tipos de soluciones de una ecuación de segundo grado, para las ecuaciones bicuadradas, se podrán obtener 4, 3, 2, 1 o ninguna solución.
· Cuatro soluciones cuando la ecuación correspondiente de segundo grado tenga dos positivas
· Tres soluciones cuando la correspondiente de segundo grado tenga una positiva y una 0 (la raiz cuadrada de 0 es 0 luego de esta sólo se obtiene una)
· Dos soluciones cuando la correspondiente de segundo grado tenga una solución positiva y otra negativa (la raíz cuadrada de un número negativo no existe).
· Una solución cuando la correspondiente de segundo grado tenga sólo la solución 0 o cuando tenga una solución 0 y otra negativa..
· Ninguna solución cuando la correspondiente de segundo grado tenga dos negativas, una sola negativa o ninguna solución.
En la escena siguiente se presenta el caso de tres soluciones: x4 - 9x2 = 0
Se presenta en rojo la ecuación bicuadrada y en azul la de segundo grado correspondiente (observa que ahora escribimos las ecuaciones completas en las dos ventanas inferiores.
Ejercicio 9.- Resolver numéricamente la ecuación anterior : x4 - 9x2 = 0, comprobando las soluciones obtenidas gráficamente.
Ejercicio 10.- Utiliza la escena siguiente para resolver gráficamente las siguientes ecuaciones bicuadradas.
Escribe en la ventana izquierda la ecuación bicuadrada y en la otra (derecha) la de segundo grado que hay que resolver también.
Resuélvelas numéricamente comprobando que coinciden las soluciones
a) x4 - 3x2 + 2 = 0. .............. b) x4 - 10x2 = -9. .............c) x4 = x2. ................d) x4 - 2x2 - 8 = 0
"Tendrás que observar los puntos de corte con el eje x. Cuando no sean enteror, puedes ver el valor aproximado pinchando con el ratón en el punto y viendo las coordenadas".
Autor: Leoncio Santos Cuervo
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| Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000 | ||