FUNCIONES Y GRÁFICAS VI
La función cuadrática más sencilla
La función y=x^2
La gráfica de la función y=x^2 es lo que se llama una parábola, curva que tiene un gran significado físico porque describe la trayectoria de un proyectil, como una bala o pelota, en ausencia de fricción con el aire. Los espejos parabólicos reflejan los rayos luminosos de una fuente de luz situada en el foco como rayos paralelos entre sí. Estos reflectores se usan en los faros de los coches y como antenas en radioastronomía, radar y televisión por satélite.
Mueve con el ratón el punto P a
derecha e izquierda y observa las coordenadas del mismo. Haz una
tabla de valores e intenta representar la gráfica de la
función.
La gráfica de y=x^2
Al representar sobre unos ejes cartesianos la tabla de valores de la función obtendrémos una aproximación a la gráfica de la función cuadrática más sencilla.
Modifica los valores de x para valores mayores y menores que cero haciendo clic en las flechas. Compara la forma de la gráfica con la que has dibujado anteriormente. Disminuye la escala hasta 5 y vuelve a modificar los valores de x. Pulsa el botón Inicio y amplía la escala hasta 500. Vuelve a variar los valores de la abscisa desde los negativos a los positivos. Haz que se representen puntos intermedios entre los ya representados, por ejemplo, 0.05, 0.15, -0.05, -0.15, etc.
La parábola
Uniendo los puntos anteriormente representados se obtiene la gráfica de la función y=x^2, llamada parábola.
Cambia los valores de x con las flechas y observa el movimiento del punto que pertenece a la curva y los distintos valores de la abscisa y ordenada. Modifica la escala hasta 5 y observa la gráfica.
Simetría
Para valores de x negativos el valor de la función es el mismo que para los correspondientes negativos. Eso significa que la curva es simétrica con respecto al eje de ordenadas. El eje Y es, en este caso, el eje de simetría de la parábola, es decir el lugar por donde podríamos plegar una parábola dibujada en papel para que coincidieran sus dos mitades llamadas ramas de la parábola. El lugar donde corta el eje de simetría a la parábola se llama vértice. El vértice de la parábola y=x^2 es el origen de coordenadas.
Comprueba que para los valores negativos de x la función alcanza el mismo valor. Escribe en tu cuaderno las coordenadas del vértice de la parábola y=x^2 y la ecuación del eje de simetría.
Crecimiento y decrecimiento de la función.
Una función f(x) se dice que es creciente en un intervalo [a,b] si para dos valores x1, x2 cualesquiera (x1<x2) del intervalo se cumple que f(x1)<f(x2). Si se cumple que f(x1)>f(x2) entonces se dice que es decreciente. Si, finalmente, f(x1)=f(x2) se llama constante.
Estudia si la función y=x^2 es creciente, decreciente o constante en los intervalos : [0,1], [-10] y [-1,1] ?Qué pasa para valores de x mayores que cero? ¿Y con los negativos?
Tasa de variación media de una función
Se llama Tasa de Variación Media de una función f(x) entre dos puntos x1 y x2 al cociente:
TVM=((f(x2)-f(x1))/(x2-x1)
Una función f(x) es creciente, decreciente o constante en un determinado intervalo [a,b] si para cualesquiera dos valores de x que estén dentro del intervalo la Tasa de Variación Media de la función es positiva, negativa o cero.
Analiza el crecimiento o decrecimiento de la función en estudio observando la TVM en los siguientes intervalos: [0.5,1], [-0.5,0],[10,11] y [-11,-10]. En los dos últimos casos cambia la escala a 5 trasladando convenientemente los ejes.
El mínimo
Cuando una función pasa, en un punto, de ser creciente a decreciente se dice que tiene un mínimo en ese punto. Cuando pasa de ser decreciete a creciente en ese punto, tiene un máximo en él.
Tiene la función y=x^2 algún máximo o mínimo. ¿En qué punto?
Autor: Miguel García Reyes
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| Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000 | ||