FABRICANDO ORDENADORES

Un problema de programación lineal

El enunciado.

Imagina que diriges una pequeña empresa que ensambla y vende dos tipos de ordenadores: el modelo A y el modelo B. Esta fábrica sólo puede producir 360 ordenadores cada semana.

En tu fábrica estos son los empleados y sus características:

• 100 ensambladores que se dedican a montar las piezas de los ordenadores por un sueldo de 20.000 pts. a la semana a cambio de 36 horas de trabajo.
• 4 inspectores que se dedican a revisar y corregir los ordenadores antes de su venta por un sueldo de 24.000 pts. semanales a cambio de 35 horas de trabajo.

Los datos más importantes relativos a la fabricación de ordenadores son los siguientes:

• El modelo A: Necesita 12 horas para su ensamblaje y 10 minutos para su revisión. Sus componentes cuestan 16.000 pts y su precio de venta es de 24.000 pts.
• El modelo B: Necesita 6 horas para su ensamblaje y 30 minutos para su revisión. Sus componentes cuestan 12.800 pts y su precio de venta es de 17.600 pts.

En la actualidad estáis fabricando y vendiendo semanalmente 100 ordenadores del modelo A y 200 del modelo B.

• ¿Qué beneficio estáis obteniendo actualmente?
• ¿Cuántos ordenadores de cada clase deberíais fabricar para mejorar la situación y obtener el máximo beneficio posible?
• ¿Te ayudaría hacer alguna reducción de plantilla?

Comprensión del enunciado.

En principio, vamos a estudiar cuales son los gastos y los ingresos que tenemos, dependiendo del número de ordenadores que fabriquemos de cada clase. Manipulando los botones correspondientes a las cantidades de ordenadores ("x" e "y"), de cada modelo que se fabrican, podemos reflexionar sobre la variación de ingresos, gastos y beneficios.

• ¿Encuentras situaciones en las que el negocio es rentable? Podrías intuir cuales son las que más te podrían interesar.

• En el momento actual de producción de la fábrica:

  1. ¿Cuánto pagas en sueldos?

  2. ¿Cuánto pagas por los componentes?

  3. ¿Cuales son los ingresos semanales?

  4. ¿Qué beneficio obtienes?

• Piensas que se puede mejorar la situación actual de tu negocio.

Las restricciones.

Parece claro, después de lo anterior, que cuántos más ordenadores fabriques (de los dos tipos), más beneficios obtendrás. Pero no puedes fabricar todos los que quieras puesto que hay unas limitaciones que tienes que tener en cuenta. A estas condiciones que tienes que cumplir les llamaremos restricciones. Las restricciones las representamos mediante inecuaciones:

• ¿Cuál es el número máximo de horas de montaje y de inspección de que dispones?¿Cuál es el número máximo de ordenadores que puedes fabricar?
• Escribe tres inecuaciones en de "x" e "y" (ordenadores modelo A y ordenadores modelo B fabricados) que representen las restricciones de este problema relativas al número máximo de ordenadores que podemos construir y los tiempos máximos de ensamblaje e inspección de los que disponemos.

Estas restricciones se pueden representar en unos ejes coordenados y podemos determinar la región que satisface las tres inecuaciones.

• Una vez que hayas visto lo que ocurre con distintos valores de "x" e "y", ¿podrías decir cuál es la región que cumple todas las restricciones? Dibújala en tu cuaderno.
• ¿Qué les ocurre a los puntos que se encuentran fuera de esa región? Prueba con varios.
• Describe lo que ocurre en tu empresa en el momento de producción actual, referido a las tres condiciones anteriores. ¿Puedes producir más ordenadores?¿Te sobran empleados?

La solución.

La región de validez es la región poligonal que has encontrado y que cumple todas las restricciones que tiene el enunciado. Cada punto P(x,y) ("x" es el nº de ordenadores del modelo A e "y" del B que se fabrican) de esa región puede ser solución del problema, pero te interesa encontrar la solución óptima que te produzca el máximo beneficio posible.

• Encuentra una expresión que te de el beneficio obtenido en función de "x" e "y".
• Manipulando los botones "x" e "y" de la gráfica localiza los puntos que te dan un beneficio máximo. ¿Podrías prescindir de algún trabajador?

La solución gráfica.

Como habrás observado, la función que te da los beneficios es de la forma 8.000X+4.800Y=k donde "k" es una contante, que es mayor cuando los beneficios son mayores. A esta función le llamamos función objetivo y es la que queremos que sea máxima. Al variar "k" obtenemos una familia de rectas paralelas. Nos interesa localizar el punto de la región de validez que pertenece a una de esas rectas; la del mayor valor de k posible. Obtendremos el punto P que nos da el máximo beneficio.

• Al modificar "k" obtienes rectas paralelas. Para un determinado valor de "k", ¿qué significan los puntos de esa recta?¿Tienen todos sentido?
• ¿Cuál es el punto óptimo?¿Por qué?
• ¿Habría algún punto con el que obtendrías un mínimo de beneficios?
• ¿En qué puntos de la región de validez piensas que se encontrarán las soluciones de este tipo de problemas? Razona tu respuesta.

Autor:Carlos Martínez Sánchez.