DERIVADA DE UNA FUNCION

Definición e interpretación geométrica


1º.- Definición de derivada

La derivada es uno de los conceptos más importante en matemáticas. La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. Pero vayamos por partes.

La definición de derivada es la siguiente:

Podría, pues, no existir tal limite y ser la función no derivable en ese punto. En esta primera práctica vamos a ver que significa cada uno de los términos que aparecen en la formula anterior.

Propuesta de trabajo.

1º.- Comprueba en primer lugar como varía la llamada TVM (Tasa de variación media) de la funcion en un punto. Para ello varia el incremento

2º.- Comprueba los valores de las pendiente de las recta secantes y como varian al acercarse a la pendiente de la recta tangente.

3º.- Mueve el punto a lo largo de la curva.

4º.- Intenta encontrar un punto de la curva de tangente horizontal (es decir de pendiente 0) y un punto con recta tangente cuya pendiente sea 1 (Para ello , si es necesario, aumenta la escala)

5º.- Comprueba que al variar el punto, pero dejando fija la pendiente, varia la TVM dependiendo del punto

 


2º.- Derivada de la parabola

Repetimos el ejrcicio anterior con una parabola

Propuesta de trabajo.

1º.- Comprueba en primer lugar como varía la llamada TVM (Tasa de variación media) de la funcion en un punto. Para ello varia el incremento

2º.- Comprueba los valores de las pendiente de las recta secantes y como varian al acercarse a la pendiente de la recta tangente.

3º.- Mueve el punto a lo largo de la curva.

4º.- Intenta encontrar un punto de la curva de tangente horizontal (es decir de pendiente 0) y un punto con recta tangente cuya pendiente sea 1 (Para ello , si es necesario, aumenta la escala)

5º.- Comprueba que al variar el punto, pero dejando fija la pendiente, varia la TVM dependiendo del punto

 


3º.- Derivada de la parabola

Vemos otro ejemplo, con la misma función que el anterior. La escena muestra la recta tangente a la curva en cada punto y vamos comprobando que la pendiente de la recta tangente es la tangente trigonométrica del ángulo que forma la recta con el eje X

Propuesta de trabajo.

1º.- Varía el punto, abcisa, y comprueba como varia la recta tangente.

2º.- Observa como varía la tangente trigonometrica del ángulo que forman la recta tangente y el eje X

3º.- Mueve el punto a lo largo de la curva.

4º.- Intenta encontrar un punto de la curva de tangente horizontal (es decir de pendiente 0) y un punto con recta tangente cuya pendiente sea 1 (Para ello , si es necesario, aumenta la escala)

5º.-

 


4º.- Función derivada de la cúbica.

Vamos a construir la función derivada. Esta función es una función que encada punto vale la pendiente de la recta tangene, es decir, la derivada de la función en cada punto.

Propuesta de trabajo.

1º.- Observa el dibuko de la gráfica de la derivada de la función cúbica en cada punto.

2º.- Comprueba que los valores de las pendiente de las recta tangente.son los valores de la función

3º.- Mueve el punto a lo largo de la curva para ir obteniendo la función derivada

4º.- Observa que los puntos de corte de la derivada son los puntos en donde la tangente es horizontal (posiblemente maximos y minimos) Intenta encontrar los maximos y los minimos de la cubica. Intenta encontrar un punto con recta tangente cuya pendiente sea 1 (Para ello , si es necesario, aumenta la escala)

5º.- Intenta encontrar un punto con recta tangente cuya pendiente sea 1 (Para ello , si es necesario, aumenta la escala)

 


5º.- Función primera derivada y segunda derivada.

Vamos a construir la función derivada de una función polinómica de grado 4. Esta función será una función de grado 3. Ademas vamos a dibujar simultáneamente la función dervada segunda.

Propuesta de trabajo.

1º.- Observa el dibujo de la gráfica de la derivada y segunda derivada de la función cúbica.

2º.- Comprueba que los valores de las pendiente de las recta tangente.son los valores de la función

3º.- Mueve el punto a lo largo de la curva para ir obteniendo la función derivada y la segunda derivada.

4º.- Observa que los puntos de corte de la derivada son los puntos en donde la tangente es horizontal (posiblemente maximos y minimos). Observa que los puntos de corte de la segunda derivada son los puntos donde la función cambia de concava a convexa (puntos de INFLEXIÓN)

 

Autor: Juan Avila