Resolución gráfica de sistemas de ecuaciones

Soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas

Una ecuación lineal con dos incógnitas tiene infinitas soluciones. Cada una de ellas está formada por una pareja de valores (x,y), que gráficamente representa las coordenadas de un punto en el plano. Al dibujar esos infinitos puntos en un sistema de ejes coordenados, se obtiene una recta.

Observa la representación gráfica de la ecuación siguiente:

2x + 3y = 4

1.- Modifica el valor de x para observar las parejas de valores que satisfacen la ecuación. Anota cinco soluciones. Comprueba que los valores aproximados de y que aparecen en la escena son los que se obtienen al calcularlos directamente a partir de la ecuación. (Ten en cuenta que en la escena se indican las soluciones redondeadas con tres decimales).

Resolución gráfica de un sistema de ecuaciones lineales

Considerando que solucionar un sistema de ecuaciones consiste en encontrar aquella pareja de valores que satisfaga simultáneamente ambas ecuaciones, gráficamente estamos buscando en realidad un punto que pertenezca a las dos rectas. Dicho punto no es otro que el de corte de las mismas.

Se han representado a continuación las ecuaciones correspondientes a este sistema:

4x - 5y = 3
2x + 10y = 29

2.- Determina, variando el valor de la x, la solución del sistema del dibujo. Comprueba resolviendo la ecuación que la pareja de valores que has obrtenido gráficamente es correcta.

Análisis gráfico de un sistema de ecuaciones lineales

La resolución gráfica de los sistemas de ecuaciones lineales permite analizar el número de soluciones de éstos.
Observa la siguiente escena y contesta a las preguntas que se proponen, teniendo en cuenta que el sistema que se está analizando en cada caso es:

ax + by = c
a´x + b´y= c´

3.- Resuelve los siguientes sistemas en tu cuaderno. Comprueba después las soluciones gráficamente.

a) ¿Cómo son las rectas en cada caso?
b) ¿Cuántas soluciones tiene cada sistema?
c) ¿Qué ocurre en el apartado e? ¿Y en el f?
d) Intenta encontrar otros sistema que no tenga solución.
e) Representa en la escena un sistema que tenga infinitas soluciones

Discusión de un sistema de ecuaciones lineales

La relación entre los coeficientes de las dos ecuaciones de un sistema de dos ecuaciones lineales permite saber el número de soluciones de éste, así como las posiciones relativas de las rectas que representan.

4.- Modifica los coeficientes de la primera ecuación (a,b y c), para obtener sistemas en los que a/a´ sea diferente de b/b´, y anota la posición relativa de las rectas.

5.- Obtén ejemplos y observa ahora lo que ocurre cuando a/a´=b/b´, pero ambos son diferentes de c/c´

6.- Comprueba por último cómo son las rectas cuando los tres cocientes son iguales. ¿Cuántas soluciones tienen esos sistemas?

Resolución de sistemas de ecuaciones no lineales

Empleando el mismo procedimiento de los apartados anteriores se puede resolver gráficamente cualquier sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, aunque no sean lineales. La pareja o parejas de valores (x,y) que sean solución del sistema corresponderán a las coordenadas de los puntos de corte de las gráficas correspondientes. Con al applet Descartes se puede ver de manera aproximada el valor de las soluciones.

En el siguiente ejemplo se intenta resolver el sistema formado por las ecuaciones:

4x - 5y = 3
y = x² - 2x - 6

7.- Resuelve el sistema de ecuaciones representado indicando el número de soluciones (para ello intenta que la diferencia entre los dos valores de y sea 0). Calcula las soluciones con la mayor precisión posible.

8.- Utiliza esta escena para plantear las ecuaciones que quieras y observar las soluciones. Para ello no tienes más que escribir las ecuaciones en los recuadros de abajo. Escribe y resuelve indicando el número de soluciones, sistemas que tengan:

a) Una ecuación de grado 2 y otra de grado 3.
b) Dos ecuaciones de grado 3.
c) Dos ecuaciones de grado 4.

Autor: Francisco Javier Lapuente Montoro