I Inverso de un número complejo
Por definición el inverso de un número complejo z es otro número complejo que se representa por 1/z y que tiene la propiedad de que multiplicado por el primero el resultado es igual a 1+0i=1.
1.- Teniendo en cuenta la definición, deduce quien será el inverso de un
número complejo z=(r
)a expresado en forma
polar
2.- ¿Todos los números complejos tienen inverso?. (Reflexiona qué
ocurre en el caso real)
3.- Aventura cúal será el procedimiento para calcular el inverso
de un número complejo expresado en forma binómica.(Si no
encuentras el camino, las actividades que vienen a continuación pueden arrojar luz sobre la cuestión)
4.- Determina las analogías y diferencias entre el inverso y el
conjugado del mismo número complejo. ¿En qué casos el inverso y conjugado coinciden?
Ya sabemos que al multiplicar un número complejo z
por su conjugado el resultado
es un núumero real y que además coincide con el cuadrado del módulo de z.
Nuestro objetivo es localizar un número complejo que muliplicado por z nos
de 1.
5.- ¿Qué tendremos que hacer para que el resultado de la operación
z´z*sea 1?.
6.- Deduce que para hallar el inverso de un número complejo z
basta con multiplicar primero por su conjugado
y el resultado multiplicarlo a su vez por el inverso del cuadrado del módulo de z.
7.- Calcula el inverso de los siguientes números complejos:
a) (5)135º
b) 4-3i c) 7
8.- ¿Qué resultado obtenemos si al cociente 1/(a+bi) se le multiplica y divide por el conjugado del
denominador (a-bi)?
Toda división entre dos números complejos
z2
y
z
II División entre dos números complejos.
9.- Observa las relaciones que hay entre los módulos y argumentos de los números complejos z1 , z2 y z2/z1 . Determina una fórmula para ralizar la división entre dos números complejos dados en forma polar. ( Puedes modificar la posición de z1 y z2 arrastrando sus afijos).
10.- Observa las relaciones que hay entre los módulos y argumentos de los
números complejos
z2
,
1/z1
z2/z1
. Comprueba la coherencia de la definición con la fórmula
obtenida en el ejercicio anterior
11.- Determina un procedimiento para calcular el cociente de dos números
complejos expresados en forma binómica.
12.- Al igual que en la actividad 8 observa el resultado de multiplicar y dividir
al cociente (a+bi)/(c+di) por el conjugado del denominador (c-di). ¿Qué analogías
hay entre esta situación y el método hallado en el ejercicio anterior?.
13.- Halla el resultado de las siguientes operaciones:
a) (4)180º/(2)180º
b) (4-3i)/(3-i) c) 2i/(-1-i) d) 5/(2i) 14.- Calcula el valor de b para que la división (3+bi)/(2-i) sea un número
complejo:
a) imaginario puro
b) cuyo afijo esté en la bisectriz del primer cuadrante. 15.- Resuelve la siguiente ecuación z/(2+i)=9+2i
III Interpretación geométrica del cociente
de dos números complejos
Puesto que una división puede reducirse a un producto, de igual forma las
transformaciones geométricas, que sobre los afijos de los números
complejos, produce una divisón son análogas a las realizadas por la multiplicación.
16.- Traslada la situación del cociente al de un producto y deduce cuál será la transformación de la figura verde.(Puedes mover la figura arrastrando el punto amarillo z)